Bernoulliverteilung

Mit der Bernoulliverteilung kann man Experimente modellieren, die wie folgt aufgebaut sind: Es handelt sich um ein einziges Experiment mit nur zwei möglichen Resultaten, die wir als 0 (für "Mißerfolg") und 1 (für "Erfolg") kodieren. Ein schönes Beispiel hierfür ist der Schießstand auf einem Jahrmarkt, bei dem man auf weiße Plastiksterne schießt und nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (sagen wir 20%) trifft.

Klausuraufgaben

Die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem Experiment der Erfolg eintritt, wird mit dem Parameter p bezeichnet. Die mathematische Schreibweise für eine bernoulliverteilte Zufallsvariable X lautet

 X \sim \text{Be}(p)

Weitere Beispiele für bernoulliverteilte Zufallsvariablen sind die Roulettewette auf die Zahl 0 – hier wäre X \sim \text{Be}(\frac{1}{37}) – oder der erste Spielzug im "Mensch ärgere dich nicht", in dem man eine 6 würfeln muss, um eine Figur ins Spiel bringen zu dürfen; hier ist X \sim \text{Be}(\frac{1}{6}).

Träger

Da es bei diesem Experiment nur zwei Ausgänge, nämlich "Erfolg" (kodiert durch eine 1) und "Mißerfolg" (kodiert durch eine 0) gibt, ist der Träger \mathcal{T} der Bernoulliverteilung die Menge \mathcal{T} = \{0,1\}.

Dichte

Die Dichte besteht aus drei Teilen: Der Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, also \mathbb{P}(X=1) (das ist p), der Wahrscheinlichkeit für einen Mißerfolg, also \mathbb{P}(X=1) (das ist die Gegenwahrscheinlichkeit 1-p), und einer 0 für alle anderen Werte von X, d.h. überall anders:

 f(x) = \begin{cases} p, & x = 1 \\ 1-p, & x=0 \\ 0, &\text{sonst} \end{cases}

asdf

Die Dichte für unser Beispiel auf dem Jahrmarktschießstand. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (also X=0) ist hier 80%, und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, X=1, ist 20%. Alle anderen Werte haben den Wert 0. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zum Beispiel 0.5 oder 3 Treffer zu erhalten, ist natürlich 0.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist F(x) = \mathbb{P}(X \leq x). In Worten heißt das: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Experiments kleiner oder gleich dem Wert x ist. Sie ist definiert in drei Abschnitten:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-p, & x>=0 \, \text{und} \, x<1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases}

Der oberste Abschnitt beschreibt die erste Stufe: Unsere Variable X kann ja nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass also eine Zahl kleiner als 0 herauskommt, ist natürlich 0. (Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als z.B. -0.5 rauskommt, also F(-0.5), auch 0.

Die zweite Stufe ist der Bereich zwischen 0 und 1. Dort ist die Wahrscheinlichkeit, dass X \leq x ist, genau 1-p, und zwar aus dem Grund, dass nur die 0 (also ein Mißerfolg, oder auf unserem Schießstand "kein Treffer") als mögliches Ergebnis kleiner oder gleich diesen Werten vorkommt - und der Mißerfolg hat die Wahrscheinlichkeit 1-p.

Die dritte Stufe ist alles über x=1. Da nur die Ergebnisse 0 oder 1 rauskommen können, ist z.B. die Wahrscheinlichkeit dass X \leq 5 ist, gleich 1. Die Funktion F(x) geht also ins Unendliche konstant mit dem Wert 1 weiter.

asd

Die Verteilungsfunktion für das Beispiel des Jahrmarktschießstands ist eine Treppenfunktion. Hier liest man z.B. ab, dass \mathbb{P}(X \leq 0) = 0.8 ist, und ebenso, dass \mathbb{P}(X \leq 0.5) = 0.8 ist.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Bernoulliverteilung ist einfach: \mathbb{E}(X) = p.

Das kann man sich über die Formel, die den Erwartungswert definiert, sofort herleiten:

 \mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i f(x_i) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p

Hier verwenden wir die beiden möglichen Ausprägungen x_1=0 und x_2 = 1, sowie deren Wahrscheinlichkeiten f(x_1) = 1-p (für Mißerfolg) und f(x_2) = p (für Erfolg).

Varianz

Die Varianz bei der Bernoulliverteilung ist \mathbb{V}(X) = p(1-p). Sie ist mit Hilfe ihrer Definition etwas aufwändiger zu bestimmen, aber auch noch machbar:

 \begin{align*} \mathbb{V}(X) &= \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 f(x_i) \\&=(x_1-p)^2 \cdot (1-p) + (x_2 - p)^2 \cdot p\\&=p^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\&=(p^2 - p^3) + (1^2-2p+p^2)\cdot p \\&=p^2 - p^3 + p - 2p^2 + p^3 \\&=p - p^2 \\&=p(1-p) \end{align*}

Der Wert \mu ist hierbei, wie in der Definition beschrieben, eine Kurzschreibweise für den Erwartungswert \mathbb{E}(X) = p.

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.