Bernoulliverteilung

Mit der Bernoulliverteilung kann man Experimente modellieren, die wie folgt aufgebaut sind: Es handelt sich um ein einziges Experiment mit nur zwei möglichen Resultaten, die wir als 0 (für „Mißerfolg“) und 1 (für „Erfolg“) kodieren. Ein schönes Beispiel hierfür ist der Schießstand auf einem Jahrmarkt, bei dem man auf weiße Plastiksterne schießt und nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (sagen wir 20%) trifft.

Klausuraufgaben
Im eBook-Shop gibt es Klausuraufgaben zu diesem Thema!
Zu den eBooks

Die Wahrscheinlichkeit, mit der bei einem Experiment der Erfolg eintritt, wird mit dem Parameter \(p\) bezeichnet. Die mathematische Schreibweise für eine bernoulliverteilte Zufallsvariable \(X\) lautet

\[ X \sim \text{Be}(p) \]

Weitere Beispiele für bernoulliverteilte Zufallsvariablen sind die Roulettewette auf die Zahl 0 – hier wäre \(X \sim \text{Be}(\frac{1}{37})\) – oder der erste Spielzug im „Mensch ärgere dich nicht“, in dem man eine 6 würfeln muss, um eine Figur ins Spiel bringen zu dürfen; hier ist \(X \sim \text{Be}(\frac{1}{6})\).

Träger

Da es bei diesem Experiment nur zwei Ausgänge, nämlich „Erfolg“ (kodiert durch eine 1) und „Mißerfolg“ (kodiert durch eine 0) gibt, ist der Träger \(\mathcal{T}\) der Bernoulliverteilung die Menge \(\mathcal{T} = \{0,1\}\).

Dichte

Die Dichte besteht aus drei Teilen: Der Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg, also \(\mathbb{P}(X=1)\) (das ist \(p\)), der Wahrscheinlichkeit für einen Mißerfolg, also \(\mathbb{P}(X=0)\) (das ist die Gegenwahrscheinlichkeit \(1-p\)), und einer 0 für alle anderen Werte von \(X\), d.h. überall anders:

\[ f(x) = \begin{cases} p, & x = 1 \\ 1-p, & x=0 \\ 0, &\text{sonst} \end{cases} \]

asdf

Die Dichte für unser Beispiel auf dem Jahrmarktschießstand. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (also \(X=0\)) ist hier 80%, und die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer, \(X=1\), ist 20%. Alle anderen Werte haben den Wert 0. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Schuss zum Beispiel 0.5 oder 3 Treffer zu erhalten, ist natürlich 0.

Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion ist \(F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)\). In Worten heißt das: Die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis des Experiments kleiner oder gleich dem Wert \(x\) ist. Sie ist definiert in drei Abschnitten:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1-p, & x>=0 \, \text{und} \, x<1 \\ 1, & x \geq 1 \end{cases} \]

Der oberste Abschnitt beschreibt die erste Stufe: Unsere Variable \(X\) kann ja nur die Werte 0 oder 1 annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, dass also eine Zahl kleiner als 0 herauskommt, ist natürlich 0. (Ebenso ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl kleiner als z.B. -0.5 rauskommt, also \(F(-0.5)\), auch 0.

Die zweite Stufe ist der Bereich zwischen 0 und 1. Dort ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X \leq x\) ist, genau \(1-p\), und zwar aus dem Grund, dass nur die 0 (also ein Mißerfolg, oder auf unserem Schießstand „kein Treffer“) als mögliches Ergebnis kleiner oder gleich diesen Werten vorkommt – und der Mißerfolg hat die Wahrscheinlichkeit \(1-p\).

Die dritte Stufe ist alles über \(x=1\). Da nur die Ergebnisse 0 oder 1 rauskommen können, ist z.B. die Wahrscheinlichkeit dass \(X \leq 5\) ist, gleich 1. Die Funktion \(F(x)\) geht also ins Unendliche konstant mit dem Wert 1 weiter.

asd

Die Verteilungsfunktion für das Beispiel des Jahrmarktschießstands ist eine Treppenfunktion. Hier liest man z.B. ab, dass \(\mathbb{P}(X \leq 0) = 0.8\) ist, und ebenso, dass \(\mathbb{P}(X \leq 0.5) = 0.8\) ist.

Erwartungswert

Der Erwartungswert der Bernoulliverteilung ist einfach: \(\mathbb{E}(X) = p\).

Das kann man sich über die Formel, die den Erwartungswert definiert, sofort herleiten:

\[ \mathbb{E}(X) = \sum_{i=1}^n x_i f(x_i) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = p \]

Hier verwenden wir die beiden möglichen Ausprägungen \(x_1=0\) und \(x_2 = 1\), sowie deren Wahrscheinlichkeiten \(f(x_1) = 1-p\) (für Mißerfolg) und \(f(x_2) = p\) (für Erfolg).

Varianz

Die Varianz bei der Bernoulliverteilung ist \(\mathbb{V}(X) = p(1-p)\). Sie ist mit Hilfe ihrer Definition etwas aufwändiger zu bestimmen, aber auch noch machbar:

\[ \begin{align*} \mathbb{V}(X) &= \sum_{i=1}^n (x_i – \mu)^2 f(x_i) \\&=(x_1-p)^2 \cdot (1-p) + (x_2 – p)^2 \cdot p\\&=p^2 (1-p) + (1-p)^2 p \\&=(p^2 – p^3) + (1^2-2p+p^2)\cdot p \\&=p^2 – p^3 + p – 2p^2 + p^3 \\&=p – p^2 \\&=p(1-p) \end{align*} \]

Der Wert \(\mu\) ist hierbei, wie in der Definition beschrieben, eine Kurzschreibweise für den Erwartungswert \(\mathbb{E}(X) = p\).

2 Gedanken zu „Bernoulliverteilung

  1. Maurizio

    Bei der Dichte hat es einen Schreibfehler, es steht „die Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg, also P(X=1)“, was aber eher „P(X=0)“ sein sollte.
    Vielen Dank für Deine sehr hilfreichen Erklärungen! Habe dieses Thema gerade im Studium und dort wird es überhaupt nicht verständlich erklärt – dies ist also meine Rettung 🙂

    Antworten

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert

Diese Website verwendet Akismet, um Spam zu reduzieren. Erfahre mehr darüber, wie deine Kommentardaten verarbeitet werden.