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Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion

Potenzen

Bevor wir Polynome und Exponentialfunktionen besprechen, frischen wir die Grundlagen über Potenzen nocheinmal auf.

Potenzen sind, einfach ausgedrückt, eine Kurzschreibweise für wiederholte Multiplikation. Genauso wie man statt 4+4+4+4+4 einfach kurz 5\cdot 4 schreiben kann, so kann man 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 durch 3^5 abkürzen. Hier bezeichnet man die 3 als Basis, und die 5 als Exponent.
Der Sonderfall x^0=1 ist so definiert, da wir quasi "null" Multiplikationen vornehmen, also nur das bei der Multiplikation neutrale Element 1 übrigbleibt.

Negative Exponenten verwendet man für wiederholte Division. Es gilt also z.B.

 2^{-4} = 1 \div 2 \div 2 \div 2 \div 2 = \frac{1}{2^4}

Brüche als Exponenten bezeichnen Wurzeln. Zum Beispiel bedeutet 5^\frac{1}{2} dasselbe wie \sqrt{5}, und 2^\frac{1}{3} ist gleichbedeutend mit \sqrt[3]{2}.
Falls im Zähler des Bruches eine andere Zahl als 1 steht, ist das die Potenz der Basis unter dem Bruch:

 2^\frac{3}{4} = \sqrt[4]{2^3}

Reelle Exponenten, also zum Beispiel 3^{3.1415926\ldots}, sind nicht mehr ganz so intuitiv zu erklären. Man kann sich den Exponenten am besten als Interpolation zweier ihm nahe liegender Brüche vorstellen.

Rechenregeln für Potenzen gibt es einige. Die wichtigsten sind in der folgenden Übersicht zusammengefasst – links die allgemeine Regel, rechts ein veranschaulichendes Beispiel:

x^a \cdot x^b = x^{a+b} x^3 \cdot x^2 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^5 = x^{2+3}
\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b} \frac{x^4}{x^2} = \frac{x \cdot x \cdot x \cdot x}{x \cdot x} = x^2 = x^{4-2}
(x^r)^s = x^{r\cdot s} (x^2)^2 = x^2 \cdot x^2 = x \cdot x \cdot x \cdot x = x^{2\cdot 2}
\left(\frac{x}{y}\right)^r = \frac{x^r}{y^r} \left(\frac{x}{y}\right)^3 = \frac{x}{y}\frac{x}{y}\frac{x}{y} = \frac{x^3}{y^3}
(x\cdot y)^r = x^r \cdot y^r (x\cdot y)^2 = (x\cdot y) \cdot (x\cdot y) = x^2 y^2

Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion ist eine in der Statistik sehr häufig verwendete Funktion, denn sie kommt in den meisten stetigen und diskreten Dichten vor. Was es damit auf sich hat, werden wir hier besprechen.

Die meisten sind wohl vertraut mit Polynomialfunktionen wie f(x) = x^3. Hier ist die Basis (hier x) die Variable, und der Exponent (hier 3) eine konstante Zahl. Die dazugehörigen Kurven sehen beispielsweise wie folgt aus:

Beispiele für Polynomfunktionen: Die Kurven für x^a mit a=1,2,3,4,5.

Von der Polynomfunktion zur Exponentialfunktion gelangt man nun, wenn man nicht die Basis variiert, sondern den Exponenten. Wir nehmen also nicht f(x)=x^2, sondern stattdessen f(x)=2^x. Exponentialfunktionen sehen wie folgt aus:

Die Exponentialfunktionen für die Basis 1, 2, e, und 3. Die Funktion f(x)=1^x ist konstant 1, da z.B. 1^3=1 ist.

Hier fallen die folgenden DInge auf:

  • Alle Exponentialfunktionen haben an der Stelle 0 den Wert 1, da a^0=1, egal für welches a.
  • Im negativen Bereich nehmen die Funktionen Werte zwischen 0 und 1 an, da die negativen Exponenten in diesem Bereich wie oben besprochen zu einem Bruch führen, der kleiner als 1 ist.
  • Je größer die Basis ist, desto steiler steigt die Exponentialfunktion an.

Die Funktionen haben den Definitionsbereich \mathbb{R}, denn jede reelle Zahl kann im Exponenten stehen. Weil die Funktion aber nur Werte im positiven Bereich liefert, ist ihr Wertebereich \mathbb{R}^+, die reellen Zahlen größer als Null.

Eine besondere Basis ist die eulersche Zahl e. Sie ist ungefähr e \approx 2.71828 und wird in Dichtefunktionen häufig als Basis verwendet. Dargestellt wird sie häufig in Termen wie e^{-\frac{1}{2}x^2}, oder in der alternativen Schreibweise \exp (-\frac{1}{2}x^2).

Rechenregeln für die Exponentialfunktion lassen sich anhand der Rechenregeln für Potenzen ableiten. Da, wie oben besprochen, zum Beispiel x^a \cdot x^b = x^{a+b} gilt, ist genauso mit der Basis e die folgende Gleichung gültig: \exp (a) \cdot \exp (b) = \exp (a+b).

Mit dem Summenzeichen kann man diese Formel noch auf längere Summen erweitern, und es gilt:

 \prod_{i=1}^n \exp (x_i) = \exp (\sum_{i=1}^n x_i)

Logarithmusfunktion

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion. Mit einer Umkehrfunktion kann man eine Transformation quasi rückgängig machen. Es ist zum Beispiel die Wurzelfunktion die Umkehrfunktion zur Quadratfunktion, denn mit ihr kann man eine Quadrierung wieder rückgängig machen:

 \begin{align*} 3^2 &= 9 \\ \sqrt{9} &= 3 \end{align*}

Genauso kann man mit dem Logarithmus einer Zahl, der als \log (x) dargestellt wird, eine Exponentialfunktion wieder rückgängig machen. Es ist also zum Beispiel

 \begin{align*} \exp (3) &\approx 20.086 \\ \log (20.086) &\approx 3 \end{align*}

In diesem Beispiel interpretiert man den Logarithmus so: "e hoch wieviel ist 20.086?". Der Logarithmus gibt die Antwort auf diese Frage.

asd

Auf der linken Grafik sieht man die Exponentialfunktion f(x) = \exp (x). Hier kann man ablesen, dass \exp (3) in etwa 20 ist. Auf der rechten Grafik ist die Logarithmusfunktion, f(x) = \log (x), dargestellt. Hier kann man die erhaltenen 20 wieder umkehren in \log (20) \approx 3.

Genauso wie es bei Exponentialfunktionen eine Basis gibt (wie z.B. die Basis 10 bei der Funktion f(x) = 10^x, so bezieht sich auch ein Logarithmus immer auf eine Basis. Der natürliche Logarithmus, den wir bisher betrachtet haben, bezieht sich auf die Basis e. Die verbreitetsten anderen Logarithmen ist der Zweierlogarithmus mit der Basis 2, und der Zehnerlogarithmus mit der Basis 10. Am eindeutigsten notiert man den Logarithmus, indem man die Basis unter das Log-Symbol schreibt, also z.B. \log_{10} oder \log_2. Wenn keine Zahl als Basis hinzugefügt wurde, meint ein "nacktes" \log-Symbol zumindest im statistischen Bereich immer den natürlichen Logarithmus, zur Basis e. In manchen angewandten Gebieten kann damit allerdings auch der Zehnerlogarithmus gemeint sein, dort wird dann \ln für den natürlichen Logarithmus verwendet. Wegen dieser Möglichkeit der Verwechslung ist es empfohlen, die Basis immer explizit dazuzuschreiben.

Der Zehnerlogarithmus ist besonders leicht zu interpretieren, da die Zehnerpotenzen (10, 100, 1000, usw.) eine ganze Zahl ergeben. Er findet oft in Grafiken Anwendung, wo er zur Transformation von Daten verwendet wird, die man in ihrer untransformierten Darstellung schlecht erkennen kann. Das sind meistens Daten, die eine schiefe Verteilung haben – als Beispiele kann man sich das Nettoeinkommen in einer großen Firma, oder die Einwohnerzahl aller deutschen Städte vorstellen.

asdf

Die Einwohnerzahlen aller deutschen Großstädte (>100.000 Einwohner). Oben sieht man die untransformierten Daten, und eine sehr schiefe Verteilung, in der sich fast alle Punkte zwischen 100.000 und 500.000 aufhalten. Die vier Städte rechts der 1MIo-Marke sind Berlin, Hamburg, München und Köln. In der unteren Grafik sind die Daten nur mit dem Zehnerlogarithmus transformiert. Man hat hier eine bessere Übersicht über die Streuung der Daten in den niedrigen Bereichen. Da \log_{10} (1.000.000) = 6 ist, sind die vier Millionenstädte in der unteren Grafik die, die rechts der 6.0 liegen.

Da das Ergebnis einer Exponentialfunktion nur positiv sein kann, kann man umgekehrt den Logarithmus auch nur von einer positiven Zahl nehmen. Ein Wert wie z.B. \log (-3) ist nicht definiert. Der Definitionsbereich für die Logarithmusfunktion ist also \mathbb{R}^+, die gesamten positiven reellen Zahlen. Der Wertebereich hingegen sind die gesamten reellen Zahlen \mathbb{R}.

Rechenregeln für den Logarithmus gibt es natürlich auch. Die wichtigsten sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst, wobei links die allgemeine Regel, und rechts eine Anwendung der Regel steht:

Regel Beispiel
\log \left( \exp (x) \right) = x \log_{10}(10^8) = 8
\exp \left( \log (x) \right) = x 10^{\log_{10}(8)} = 8
\log ( x \cdot y ) = \log (x) + \log (y) \log (\prod_{i=1}^n x_i) = \sum_{i=1}^n \log (x_i)
\log ( \frac{x}{y} ) = \log (x) - \log (y) \log (\frac{1}{3}) = \log (1) - \log (3)
\log (x^r) = r \cdot \log (x) \log (\sqrt{x}) = \log (x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \log (x)

Fakultät und Binomialkoeffizient

Diese beiden Konstrukte werden in der Kombinatorik häufiger gebraucht. Es handelt sich im Prinzip nur um abkürzende Schreibweisen.

Die Fakultät wird durch ein nachgestelltes Ausrufezeichen dargestellt und ist eine bestimmte Art von Produkt:

 N! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot N

So ist die Fakultät von 5 also 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120. Die Fakultät von 0 ist ein Spezialfall und definiert als 0! = 1.

Ein nützlicher Fakt, mit dem man super ein erstes Date platzen lassen kann, ist dieser: Es gibt genau  10! Sekunden innerhalb eines Zeitraums von 6 Wochen. Die Herleitung geht so: Die Anzahl der Sekunden in 6 Wochen ist 6 (Wochen) \cdot 7 (Tage) \cdot 24 (Stunden) \cdot 60 (Minuten) \cdot 60 (Sekunden). Durch Aufteilen mancher Zahlen in kleinere Faktoren erhält man dann:

 6 \cdot 7 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 =6\cdot 7 \cdot (8 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 10) \cdot ( 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = 10!

Man kann auch Produkte in dieser Kurzschreibweise ausdrücken, die nicht bei 1 beginnen. Das Produkt 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 kann man als \frac{8!}{4!} schreiben, weil sich die Faktoren 4, 3, 2, 1 im Nenner wieder wegkürzen:

 \frac{8!}{4!} = \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5

In einem späteren Beispiel zur Lottoziehung möchten wir wissen, was 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44 ist: \frac{49!}{43!}

Der Binomialkoeffizient ist eine verkürzende Schreibweise für eine häufig benutzte Formel in der Kombinatorik:

 {N \choose k} = \frac{N!}{k!\cdot (N-k)!}

Man spricht dieses Konstrukt als "N über k" oder "k aus N" aus.

Das Summenzeichen und Rechenregeln

Das grosse Sigma (\Sigma) wird verwendet, um längere Summen in einer kurzen Schreibweise darzustellen. Meist wird das Zeichen verwendet, wenn man Kennziffern oder Teststatistiken für eine Stichprobe ausrechnet.

Wir werden hier als Beispiel das Lebensalter von fünf ARD-Zuschauern betrachten, und daraus einen Mittelwert berechnen.

Person i i=1 i=2 i=3 i=4 i=5
Alter x_i 87 134 77 97 68

Wir messen hier das Merkmal x, welches das Alter darstellen soll. Der Index i wird benutzt, um das Alter einer einzelnen Person darzustellen, zum Beispiel steht x_3 für das Alter der dritten Person, x_3=77.

Der Mittelwert \bar{x} lässt sich nun folgendermaßen berechnen:

 \bar{x} = \frac{1}{n} (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i

Das bedeutet nun, dass i eine Zählvariable ist, die von 1 bis n läuft (wir haben fünf Personen, also ist n=5). Es wird für jede Zählvariable i die Teilsumme x_i gebildet, und am Ende aufsummiert. In unserem Fall ist die Summe in ausgeschriebener Form:

 \begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^5 x_i & = \frac{1}{n} (x_1+x_2+x_3+x_4+x_5) \\ & = \frac{1}{5} (87+134+77+97+68) \\ & = 92.6 \end{align*}

Rechenregeln mit dem Summenzeichen

Man sollte vielleicht im Hinterkopf halten, dass Summen manchmal in einer abgekürzten Schreibweise aufgeschrieben werden. Wenn klar ist, über welche Zahlen die Zählvariable i laufen soll, findet man das Summenzeichen oft in Kurzform, zum Beispiel

\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 = \sum_i (x_i-\mu)^2.

Falls hinter dem Summenzeichen keine Klammer steht, die anzeigt, "wie weit" die Summe geht, gilt im Allgemeinen diese Regel: Produkte und Potenzen gehören noch zum Summenzeichen dazu, aber ab dem ersten Plus bzw. Minus ist die Summe zu Ende:

\sum_{i=1}^3 i\cdot 2^2 + 5 = (1\cdot 2^2 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^2) + 5

Wenn man eine Summe, die durch das \Sigma dargestellt wird, in Gedanken in eine "normale" Summe zerlegt, kann man die folgenden Rechenregeln leicht nachvollziehen, da sie direkt von ausgeschriebenen Summen abgeleitet werden können:

  • \sum_i a \cdot x_i = a \cdot \sum_i x_i
  • \sum_i (x_i + y_i) = \sum_i x_i + \sum_i y_i
  • \sum_i (a x_i + b y_i) = \sum_i a x_i + \sum_i b y_i = a \sum_i x_i + b \sum_i y_i

Die erste Regel in dieser Liste ist das bekannte Ausklammern, und lässt sich nachvollziehen indem man die Summe ausschreibt:

\begin{align*}\sum_i a \cdot x_i & = & a x_1 + a x_2 + a x_3 + \ldots \\ & = & a \cdot (x_1 + x_2 + x_3 + \ldots) \\ & = & a \cdot \sum_i x_i\end{align*}

Die anderen Regeln kann man auf dieselbe Weise ausschreiben und nachvollziehen.

Aufgabe

Stellen wir uns vor, es steht eine große Torte auf dem Tisch. Nacheinander laufen nun sehr, sehr viele Leute daran vorbei, und jeder nimmt sich die Hälfte von dem, das im Moment noch übrig ist. Die erste Person nimmt sich also die halbe Torte, die zweite Person die Hälfte vom Rest, d.h. eine Viertel Torte, die nächste Person nimmt sich ein Achtel, usw.

Die Torte wird nie komplett aufgegessen, aber doch immer kleiner. Den gesamten Anteil der Torte , der nach n Personen schon gegessen wurde, kann man durch eine Summe ausdrücken:

 \sum_{i=1}^n \frac{1}{2^i}

Um den Umgang mit dem Summenzeichen zu erlernen, bestimme, welcher Anteil der Torte nach n=3 Personen aufgegessen wurde.

summenzeichen-kuchen

Wieviel wurde schon gegessen, nachdem Person 1, 2, und 3 sich nacheinander die Hälfte vom Rest abgeschnitten haben?

Lösung (klick)

Griechische Buchstaben

Statistische Kennziffern werden oft mit griechischen Buchstaben
ausgedrückt. Die folgende Tabelle zeigt das große und kleine griechische Alphabet und
wie man die Buchstaben ausspricht. Für manche Buchstaben gibt es zwei
verschiedene Schreibweisen; in dem Fall sind beide Varianten abgebildet.

A \alpha Alpha N \nu Ny
B \beta Beta \Xi \xi Xi
\Gamma \gamma Gamma O o Omikron
\Delta \delta Delta \Pi \pi Pi
E \epsilon, \varepsilon Epsilon P \rho, \varrho Rho
Z \zeta Zeta \Sigma \sigma, \varsigma Sigma
H \eta Eta T \tau Tau
\Theta \theta, \vartheta Theta \Upsilon \upsilon Ypsilon
I \iota Iota \Phi \phi, \varphi Phi
K \kappa Kappa X \chi Chi
\Lambda \lambda Lambda \Psi \psi Psi
M \mu My \Omega \omega Omega