Chi-Quadrat-Verteilung

Idee

Die \chi^2-Verteilung wird eigentlich nur für einige Hypothesentests verwendet, insbesondere für den Unabhängigkeitstest für Kontingenztabellen. In der "freien Wildbahn", also zum Modellieren irgendwelcher erhobenen Daten, trifft man sie quasi nie an. Aus diesem Grund sind viele Details dieser Verteilung (Erwartungswert, Dichte, und Varianz) eher unwichtig - nur die Verteilungsfunktion ist interessant, da mit ihr das 95%-Quantil (die wichtige kritische Schranke für Hypothesentests) bestimmt werden kann.

Klausuraufgaben

Parameter

Die \chi^2-Verteilung hat einen Parameter, nämlich die Anzahl der Freiheitsgrade, df. Man notiert eine \chi^2-verteilte Zufallsvariable X mit df Freiheitsgraden als

 X \sim \chi^2 (df)

t

Dichte- und Verteilungsfunktion der \chi^2-Verteilung für verschiedene beispielhafte Freiheitsgrade.

Träger

Der Träger der \chi^2-Verteilung ist \mathbb{R}^+, die positiven reellen Zahlen.

Erwartungswert, Varianz und Dichte

Da mit der \chi^2-Verteilung eigentlich nie Daten modelliert werden, braucht man eigentlich weder die Dichte, noch den Erwartungswert oder die Varianz kennen. Der Vollständigkeit halber: Der Erwartungswert für eine \chi^2-verteilte Zufallsvariable X mit df Freiheitsgraden ist \mathbb{E}(X) = df, und ihre Varianz ist \mathbb{V}(X)= 2\cdot df.

Verteilungsfunktion

Wie oben schon erwähnt, ist für die \chi^2-Verteilung eigentlich nur die Verteilungsfunktion, und dort auch nur das 95%-Quantil als Spezialfall, interessant.

Die Formel für die Verteilungsfunktion ist sehr aufwändig zu notieren und auszurechnen, weshalb es auch hier eine Verteilungstabelle gibt, an der man die wichtigsten Werte einfach ablesen kann.

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