Das Produktzeichen und Rechenregeln

Das Pendant zum Summenzeichen \Sigma für die Multiplikation ist das Produktzeichen \Pi, ein großes Pi. Mit diesem Zeichen kann man Multiplikationen über viele Variablen zusammenfassen. Statt ausführlich 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 zu schreiben, kann man einfach eine Zählvariable i von 1 bis 5 laufen lassen, und diese Zählvariablen multiplizieren:

 \prod_{i=1}^5 i = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

Diese Notation ist übrigens äquivalent zur Fakultät von 5. Es ist also x! = \prod_{i=1}^x i.

Wenn man nicht über Ganzzahlen, sondern z.B. gemessene Daten x_1,x_2,x_3,x_4,x_5 multiplizieren möchte, kann man auch über den Index der Variablen x laufen:

 \prod_{i=1}^5 x_i =x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 \cdot x_5

Da sich hinter dem Produktzeichen eine ganz normale Multiplikation verbirgt, gelten dafür dieselben Rechenregeln wie für die normale Multiplikation:

  1. Nach dem Distributivgesetz kann man bei der Multiplikation die Reihenfolge der Faktoren vertauschen. Es gilt also z.B. x_1 \cdot y_1 \cdot x_2 \cdot y_2 =x_1 \cdot x_2 \cdot y_1 \cdot y_2. Genauso gilt das Distributivgesetz auch mit dem Produktzeichen:

     \prod_{i=1}^n (x_iy_i) = \prod_{i=1}^n x_i \cdot \prod_{i=1}^n y_i

    Wenn man diese Formel anhand eines kurzen Beispielfalls ausschreibt, sieht man, dass hier tatsächlich nur die Reihenfolge vertauscht wurde.
  2. Wenn man eine konstante Zahl n-mal mit sich selbst multipliziert, erhält man ihre n-te Potenz:

     \prod_{i=1}^n c = c^n

    Die Zahl c ist hier nicht vom Index i abhängig. Daher wird einfach nur c multipliziert. Es gilt also \prod_i c = c \cdot c \cdot \ldots \cdot c = c^n.
  3. Man kann ebenso eine Konstante aus einem Produkt herausziehen, wenn noch andere Faktoren mit dabei stehen. Es gilt also zum Beispiel

     \prod_{i=1}^3 c x_i = c x_1 \cdot c x_2 \cdot c x_3 = c^3 \prod_{i=1}^3 x_i

    Allgemein ausgedrückt lautet diese Formel

     \prod_{i=1}^n c x_i = c^n \prod_{i=1}^n x_i

Schreibe einen Kommentar

Deine E-Mail-Adresse wird nicht veröffentlicht. Erforderliche Felder sind mit * markiert.