Idee

Die Poissonverteilung ist eine diskrete Verteilung, mit der man die Anzahl von Ereignissen in einem gegebenen Zeitintervall modellieren kann. Ein schönes Beispiel ist die Anzahl von Toren, die Verein \(A\) innerhalb eines Fußballspiels schießt. Andere Anwendungen sind etwa die Anzahl an Bankkunden, die innerhalb eines Tages am Schalter ankommen, oder die Anzahl an Schadensfällen, die in einem Monat bei einer Versicherung eingehen.

Man zählt in jedem dieser Fälle die Anzahl der Ereignisse, die in einem fest vorgegebenen Zeitintervall eintreten, und möchte die Wahrscheinlichkeiten modellieren, mit der \(x\) Ereignisse in diesem Zeitraum auftreten.

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Parameter

Die Poissonverteilung hat nur einen Parameter, nämlich \(\lambda\). Er bezeichnet die durchschnittlich zu erwartende Anzahl an Ereignissen (also den Erwartungswert). Eine poissonverteilte Zufallsvariable \(X\) bezeichnet man dann durch

\[ X \sim \text{Po}(\lambda) \]

Man könnte nun zum Beispiel für 100 Fußballspiele vom Verein \(A\) die Anzahl seiner geschossenen Tore notieren, und deren Mittelwert ausrechnen. Wenn der Mittelwert 1.2 Tore sind, dann wäre in diesem Fall \(X \sim \text{Po}(1.2)\).

Träger

Bei einem Poisson-Experiment können zwischen null und unendlich viele Ereignisse eintreten. Im Beispiel mit dem Fußballspiel sind theoretisch unbegrenzt viele Tore möglich. Der Träger einer poissonverteilten Zufallsvariable ist also

\[ \mathcal{T}(X) = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \]

Dichte

Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer poissonverteilten Zufallsvariable mit dem Parameter \(\lambda\) genau \(x\) Ereignisse auftreten, berechnet man über die Dichte zu

\[ f(x) = \frac{\lambda^x}{x!} \exp (-\lambda) \]

Dabei bezeichnet \(x! \) die Fakultät von \(x\). Falls man die Wahrscheinlichkeit für 0 Ereignisse berechnen möchte, tritt hier \(0! \), die Fakultät von null, auf. Das ist definitionsgemäß gleich eins.

Im Beispiel mit dem Fußballverein berechnet man etwa die Wahrscheinlichkeit, dass Verein \(A\) genau zwei Tore schießt, zu

\[ f(2) = \frac{1.2^2}{2!} \exp (-1.2) = 0.217 \]

Die Dichte der Poissonverteilung für die Anzahl der von Team \(A\) geschossenen Tore in einem Spiel, mit \(\lambda=1.2\). Die \(x\)-Achse ist hier bei 7 abgeschnitten: Höhere Werte als \(x=7\) sind theoretisch möglich, aber sehr unwahrscheinlich. Man sieht hier auch, dass mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ein Tor geschossen wird.

Zwischenaufgabe

Angenommen, die Anzahl der Tore von Team \(A\) ist tatsächlich poissonverteilt mit \(\lambda=1.2\). Ein Freund wettet um 10€ mit dir, dass das Team im folgenden Spiel genau ein Tor schießt, da das die Anzahl mit der höchsten Wahrscheinlichkeit ist. Solltest du diese Wette annehmen?

Verteilungsfunktion

Für die Verteilungsfunktion gibt es keine bequeme Formel. Man muss für \(F(x) = \mathbb{P}(X \leq x)\) die einzelnen Werte der Dichtefunktion von 0 bis \(x\) aufsummieren:

\[ F(x) = f(0) + f(1) + \ldots + f(x) = \sum_{k=0}^x f(k) \]

Die Wahrscheinlichkeit dass unser Verein höchstens zwei Tore schießt, berechnet man also durch

\[ \begin{align*} F(2) &= f(0) + f(1) + f(2) \\&= \frac{1.2^0}{0!} \exp(-1.2) + \frac{1.2^1}{1!} \exp(-1.2) + \frac{1.2^2}{2!} \exp(-1.2) \\&= 0.301 + 0.361 + 0.217 \\&= 0.879 \end{align*} \]

Die Verteilungsfunktion für die Anzahl der Tore von Verein \(A\). Man sieht, dass die Wahrscheinlichkeit \(F(4)\) für maximal vier Tore schon sehr nahe an der 1 liegt, dass es also andersherum sehr unwahrscheinlich ist, dass Team \(A\) in einem Spiel mehr als vier Tore schießt.

Erwartungswert und Varianz

Der Parameter \(\lambda\) einer poissonverteilten Zufallsvariable ist zugleich Erwartungswert und Varianz dieser Verteilung:

\[ \begin{align*} \mathbb{E}(X)&=\lambda \\ \mathbb{V}(X)&=\lambda \end{align*} \]

Eigenschaften

Die folgenden Regeln sind hilfreich für kompliziertere Aufgaben mit der Poissonverteilung.

1. Wenn die Anzahl der Tore von Verein \(A\) innerhalb eines 90-minütigen Spiels poissonverteilt mit \(\lambda = 1.2\) ist, dann ist die Anzahl der Tore innerhalb der ersten Halbzeit auch poissonverteilt, aber mit \(\lambda = 0.6\).
   Allgemein gesagt: Wenn der betrachtete Zeitraum mit einem Faktor \(n\) multipliziert wird, ist die Anzahl der Ereignisse in diesem Zeitraum poissonverteilt mit dem Parameter \(\lambda \cdot n\).
2. Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Ereignis eintritt, ist das Gegenteil der Wahrscheinlichkeit dass gar kein Ereignis auftritt, und somit \(1-f(0)\).
   Verein \(A\) schießt also mit einer Wahrscheinlichkeit von \(1-\frac{1.2^0}{0!} \exp (-1.2) = 0.699\) mindestens ein Tor.
3. Wenn die Anzahl der Tore von Verein \(A\) poissonverteilt mit \(\lambda_A=1.2\), und die Anzahl der Tore seines Gegners, Verein \(B\), poissonverteilt mit \(\lambda_B=0.6\) ist, dann ist die Gesamtzahl der gefallenen Tore im Spiel von \(A\) gegen \(B\) wieder poissonverteilt mit \(\lambda = \lambda_A + \lambda_B = 1.8\).
   Allgemein gilt: Die Summe zweier unabhängiger poissonverteilten Zufallsvariablen \(A\) und \(B\) mit den Parametern \(\lambda_A\) und \(\lambda_B\) ist poissonverteilt mit dem Parameter \(\lambda = \lambda_A+\lambda_B\).

Der Satz von Bayes ist eine hilfreiche Regel, um bedingte Wahrscheinlichkeiten der Form \(\mathbb{P}(A|B)\) auszurechnen, wenn nur „andersherum“ bedingte Wahrscheinlichkeiten der Form \(\mathbb{P}(B|A)\) gegeben sind.

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Herleitung des Satzes von Bayes

Der Satz von Bayes erweitert die bekannte Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten:

\[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(A \cap B)}{\mathbb{P}(B)} \]

Falls die im Zähler stehende gemeinsame Wahrscheinlichkeit nicht gegeben ist, kann man sie auch durch den Multiplikationssatz bestimmen:

\[ \mathbb{P}(A \cap B) =\mathbb{P}(A | B) \cdot\mathbb{P}(B)\]

Diese Regel ergibt sich durch das Umstellen der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Da in der Notation die Reihenfolge bei zwei gemeinsam eintretenden Ereignissen egal ist, d.h. \(\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(B \cap A)\), gilt der Multiplikationssatz auch mit umgekehrten Buchstaben:

\[ \mathbb{P}(A \cap B) =\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A)\]

Genau diese Formel wird nun im Zähler ersetzt, und man erhält den Satz von Bayes:

\[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \]

Falls \(\mathbb{P}(B)\) nicht gegeben ist

In manchen Aufgaben ist die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(B)\) im Nenner nicht gegeben. Dann muss man sie über einen Umweg mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit herleiten.

Für den Spezialfall von nur zwei Aufteilungen von \(A\) ersetzt man den Nenner also wie folgt:

\[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B | A) \cdot\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B|A) \cdot \mathbb{P}(A) +\mathbb{P}(B|\bar{A}) \cdot \mathbb{P}(\bar{A})} \]

Beispielaufgabe

Eine neu entwickelte Maschine kann gefälschte Geldscheine erkennen. Wir definieren das Ereignis \(A\): „Die Maschine schlägt Alarm“, und Ereignis \(F\): „Der Geldschein ist falsch“.

Wir möchten nun herausfinden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Geldschein tatsächlich eine Fälschung ist, gegeben die Maschine schlägt Alarm. Gesucht ist also

\[ \mathbb{P}(F|A). \]

Die Maschine wurde anhand vieler echter und unechter Scheine getestet. Man fand heraus, dass die Maschine bei einem falschen Schein mit 96% Sicherheit Alarm schlägt. Allerdings gibt die Maschine auch bei 1% der echten Geldscheine Alarm. Wir wissen also:

• \(\mathbb{P}(A|F) = 0.96\)
• \(\mathbb{P}(A|\bar{F}) = 0.01\)

Zusätzlich ist bekannt, dass 0,01% aller im Umlauf befindlichen Geldscheine Fälschungen sind. Das heißt:

• \(\mathbb{P}(F) = 0.0001\)

Aufgaben dieser Art lassen sich mit dem Satz von Bayes lösen, da \(\mathbb{P}(A|F)\) gegeben, aber \(\mathbb{P}(F|A)\) gesucht ist. Wir starten also mit der Formel von Bayes (adaptiert mit den Buchstaben für unsere Ereignisse):

\[ \mathbb{P}(F|A) = \frac{\mathbb{P}(A|F) \cdot\mathbb{P}(F)}{\mathbb{P}(A)} \]

Die beiden Faktoren im Zähler sind in der Aufgabe gegeben, wir können sie also einfach einsetzen: \(\mathbb{P}(A|F) = 0.96\) und \(\mathbb{P}(F) = 0.0001\).

Im Nenner fehlt uns noch \(\mathbb{P}(A)\), die nicht-bedingte Wahrscheinlichkeit, dass die Maschine Alarm schlägt. Diese Wahrscheinlichkeit ist nicht gegeben, aber wir haben die beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass die Maschine Alarm schlägt, gegeben der Geldschein ist echt bzw. falsch. Wir können \(\mathbb{P}(A)\) also mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen:

\[ \begin{align*}\mathbb{P}(A) &=\mathbb{P}(A|F)\cdot \mathbb{P}(F) +\mathbb{P}(A|\bar{F})\cdot \mathbb{P}(\bar{F}) \\ &= 0.96 \cdot 0.0001 + 0.01 \cdot 0.9999 \\ &= 0.010095 \end{align*} \]

Die Maschine schlägt also insgesamt in etwas über 1% aller Fälle Alarm. Mit diesem Wert können wir nun die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Geldschein gefälscht ist, gegeben die Maschine schlägt Alarm:

\[ \mathbb{P}(F|A) = \frac{\mathbb{P}(A|F) \cdot\mathbb{P}(F)}{\mathbb{P}(A)} = \frac{0.96 \cdot 0.0001}{0.010095} = 0.0095\]

Dieser Wert ist erschreckend: Wenn die Maschine Alarm schlägt, ist der betreffende Geldschein nur zu etwa 0,95% eine Fälschung, und umgekehrt zu etwa 99,05% ein echter Geldschein.

Dieses Phänomen lässt sich dadurch erklären, dass sich sehr viel mehr echte als falsche Geldscheine im Umlauf befinden, und dass also ein Alarm viel wahrscheinlicher fälschlicherweise bei einem echten Geldschein gegeben worden ist als korrekterweise bei einem gefälschten Schein. Um eine verlässliche Maschine zu bauen, muss man also entweder die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm senken, oder die Genauigkeit beim tatsächlichen Erkennen gefälschter Scheine erhöhen.

Klausuraufgabe

Die Rot-Grün-Blindheit ist eine angeborene Sehschwäche, die bei etwa 9% aller Jungen, aber nur bei 0,6% aller Mädchen auftritt. Wir nehmen hier an, dass ein neugeborenes Kind zu 51% ein Junge wird, und zu 49% ein Mädchen.

Eine Mutter erzählt dir, dass ihr Kind eine Rot-Grün-Blindheit hat. Bestimme nun die Wahrscheinlichkeit, gegeben dieser Information, dass es sich um einen Jungen handelt.

Hinweis: Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(J | B)\), mit den Ereignissen \(J\)=“Kind ist ein Junge“ (d.h. \(\bar{J}\)=“Kind ist ein Mädchen“) und \(B\)=“Kind hat Rot-Grün-Blindheit“. Verwende den Satz von Bayes, um diese Wahrscheinlichkeit zu ermitteln. Auf dem Weg dorthin begegnest du \(\mathbb{P}(B)\), der Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Kind unter der Rot-Grün-Blindheit leidet. Das ermittelst du mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit.

Das Umgehen mit Wahrscheinlichkeiten gehört zum essentiellen Handwerkszeug in den einführenden Statistikklausuren. Die wichtigsten Regeln, die verwendet werden, wurden in früheren Artikeln bereits besprochen:

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Welche Formel man in einer bestimmten Situation braucht, kann man herausfinden, indem man die Aufgabe systematisch angeht:

1. Benenne die Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten der Aufgabe mit Buchstaben, falls noch keine gegeben sind.
2. Notiere in Formelschreibweise, was gesucht ist (z.B.: \(\mathbb{P}(B|C)\)).
3. Notiere in Formelschreibweise, welche Werte gegeben sind.
4. Suche die Formeln heraus, in denen sowohl die gesuchten als auch die gegebenen Werte vorkommen.

Dazu ist es hilfreich, noch ein paar zusätzliche Regeln zu kennen (wenn sie nicht schon offensichtlich sind):

• \(\mathbb{P}(\bar{A}) = 1-\mathbb{P}(A)\). Mit \(\bar{A}\) ist die Gegenwahrscheinlichkeit von \(A\) gemeint. Das ist natürlich genau die Wahrscheinlichkeit, die auf die Gesamtsumme von 1 fehlt, denn \(\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(\bar{A}) = 1\).
• \(\mathbb{P}(A \cup B) =\mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B) -\mathbb{P}(A \cap B)\). Die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(A \cup B)\), dass also entweder \(A\) oder \(B\) eintritt (oder auch beide Ereignisse gleichzeitig), ist deren Summe, minus der Wahrscheinlichkeit dass beide Ereignisse eintreten. Diese Formel kann man sich an einem Venn-Diagramm gut selbst herleiten.

Ab und zu muss man mit den gegebenen Werten erst ein Zwischenergebnis berechnen, bevor man das letztendliche Ergebnis erhalten kann. Das ist zum Beispiel beim Satz von Bayes der Fall, wo man im Nenner die Wahrscheinlichkeit \(\mathbb{P}(A)\) erst über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit berechnen muss. Die folgende Beispielaufgabe illustriert dieses Vorgehen:

Beispielaufgabe

In einer Spielwarenfabrik stehen drei Maschinen 1, 2, und 3, die mit unterschiedlicher Geschwindigkeit Spielzeugsoldaten herstellen. Jede Maschine produziert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit ein fehlerhaftes Spielzeug, das in der Qualitätskontrolle aussortiert werden muss:

Man sieht, dass die Maschine 1 ein älteres Stück ist, das langsamer und fehleranfälliger arbeitet.

Angenommen, man hält nun einen fehlerhaften Spielzeugsoldaten in der Hand. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Maschine 1 kommt?

Lösungsansatz

Um diese Aufgabe zu lösen, gehen wir wie oben beschrieben Schritt für Schritt vor. Zuerst stellen wir die Aufgabe in Formelschreibweise dar:

Ereignisse benennen

Die Ereignisse „Ein Soldat wurde von Maschine 1 produziert“ können wir einfach \(M_1\), \(M_2\), und \(M_3\) nennen. Das Ereignis „Ein produzierter Soldat ist fehlerhaft“ nennen wir \(F\), somit ist das Ereignis „Ein Soldat ist in Ordnung“ das Gegenereignis \(\bar{F}\).

Gesuchter Wert

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Soldat von Maschine 1 produziert wurde, gegeben er ist fehlerhaft, also: \(\mathbb{P}(M_1|F)\).

Gegebene Werte

Gegeben sind zum Einen die A-priori-Wahrscheinlichkeiten, dass ein beliebiger Soldat von Maschine 1, 2, bzw. 3 kommt. Das sind einfach die Werte \(\mathbb{P}(M_1)=0.15\), \(\mathbb{P}(M_2)=0.40\) und \(\mathbb{P}(M_3)=0.45\). Zusätzlich sind die Anteile fehlerhafter Soldaten die bedingte Wahrscheinlichkeit für \(F\), gegeben der Maschine, also \(\mathbb{P}(F|M_1)=0.10\), \(\mathbb{P}(F|M_2)=0.02\), und \(\mathbb{P}(F|M_3)=0.01\).

Hilfreiche Formeln

Wir sehen, dass eine bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht ist, und die „andersrum“ bedingten Wahrscheinlichkeiten gegeben sind. Das sind Aufgabentypen, die mit dem Satz von Bayes gelöst werden können:
\[ \mathbb{P}(A|B) = \frac{\mathbb{P}(B|A)\mathbb{P}(A)}{\mathbb{P}(B)} \]

In dieser Aufgabe beginnen wir also mit dem Satz von Bayes und unseren Ereignissen:

\[ \mathbb{P}(M_1|F) = \frac{\mathbb{P}(F|M_1)\mathbb{P}(M_1)}{\mathbb{P}(F)} \]

Alle diese Werte sind aus der Angabe bekannt, bis auf \(\mathbb{P}(F)\), die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Soldat fehlerhaft ist. Um diese Wahrscheinlichkeit aus den gegebenen Werten zu berechnen, bietet sich der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit an:

\[\begin{align*} \mathbb{P}(F) &=\mathbb{P}(F|M_1)\mathbb{P}(M_1) +\mathbb{P}(F|M_2)\mathbb{P}(M_2) +\mathbb{P}(F|M_3)\mathbb{P}(M_3) \\ &= 0.10 \cdot 0.15 + 0.02 \cdot 0.40 + 0.01 \cdot 0.45 \\&= 0.0275 \end{align*}\]

Es sind also insgesamt etwa 2,75% aller Soldaten fehlerhaft. Diesen Wert können wir nun in die Bayes-Formel einsetzten, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu erhalten:

\[ \mathbb{P}(M_1|F) = \frac{\mathbb{P}(F|M_1)\mathbb{P}(M_1)}{\mathbb{P}(F)} = \frac{0.10 \cdot 0.15}{0.0275} = 0.545 \]

Ein beliebiger defekter Soldat kommt also mit einer Wahrscheinlichkeit von über 50% von Maschine 1. Obwohl diese Maschine nur 15% aller Soldaten produziert, kommen mehr als die Hälfte aller defekten Soldaten von ihr.

Wenn zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) voneinander abhängig sind, dann liefert das Eintreten von \(A\) hilfreiche Information über die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von \(B\). Dazu zwei Bespiele:

Die Augenfarbe und Haarfarbe einer Person sind voneinander abhängig. Wenn ich z.B. weiß, dass Ereignis \(A\): „eine Person hat schwarze Haare“, eingetreten ist, dann macht das das Ereignis \(D\): „diese Person hat braune Augen“, viel wahrscheinlicher als wenn sie blonde Haare hätte. In diesen Beispiel ist \(A\) von \(D\) abhängig (und umgekehrt auch \(D\) von \(A\)).

Ein Beispiel für zwei unabhängige Ereignisse wäre das Ereignis \(A\): „Eine Person hat schwarze Haare“ und das Ereignis \(C\): „Diese Person ist über 1,70m groß“. Oder, wenn man es auf die Spitze treiben will: das Ereignis \(A\): „eine Person hat schwarze Haare“ und Ereignis \(B\): „Gestern hat es geschneit“ sind ganz bestimmt voneinander unabhängig.

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Sobald man mehr als ein Ereignis betrachtet, ist es essentiell zu wissen ob diese Ereignisse voneinander abhängig sind oder nicht. Die Unabhängigkeit zweier Ereignisse ist ein wichtiges Konzept, da sie viele Berechnungen immens vereinfacht. Sind zum Beispiel zwei Ereignisse voneinander unabhängig, kann man ihre gemeinsame Wahrscheinlichkeit viel einfacher berechnen als wenn sie abhängig sind.

Vereinfachungen wenn zwei Ereignisse unabhängig sind

1. Wenn zwei Ereignisse voneinander unabhängig sind, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit:
   \[ \mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A) \] Dieses Gesetz gilt auch umgekehrt:
   \[ \mathbb{P}(B|A) = \mathbb{P}(B) \] Das leuchtet ein, da das Eintreten von \(B\) keine genauere Information über das Eintreten von \(A\) (oder umgekehrt) liefert. Um auf das oben aufgeführte Beispiel zurückzugreifen: Die bedingte Wahrscheinlichkeit dass eine Person schwarze Haare hat, gegeben es hat gestern geregnet, ist genau gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit, dass eine Person schwarze Haare hat. Die Tatsache dass es gestern geregnet hat, liefert keine zusätzliche Information. (Anders wäre es mit Ereignis \(D\): „diese Person hat braune Augen“. Das wäre eine hilfreiche Information.)
2. Außerdem kann man bei zwei unabhängigen Ereignissen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für das Eintreten beider Ereignisse einfach durch das Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten berechnen:
   \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A) \cdot \mathbb{P}(B) \] Falls zwei Ereignisse abhängig sind, gilt diese Formel nicht, sondern man verwendet in einem der beiden Faktoren die bedingte Wahrscheinlichkeit:
   \[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A|B) \cdot \mathbb{P}(B) \] Für unabhängige \(A\) und \(B\) reduziert sich der erste Faktor zur unbedingten Wahrscheinlichkeit, da in diesem Fall \(\mathbb{P}(A|B) = \mathbb{P}(A)\) gilt.

Mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit kann man die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis \(A\) berechnen, wenn man nur bedingte oder gemeinsame Wahrscheinlichkeiten abhängig von einem zweiten Ereignis \(B\) gegeben hat.

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Als Beispiel sei hier die Parkinson-Krankheit genannt. Da mehr Männer als Frauen an Parkinson erkranken, sind hauptsächlich geschlechtsspezifische Zahlen veröffentlicht. Möchte man aber die Wahrscheinlichkeit der Erkrankung für eine zufällige Person unabhängig vom Geschlecht bestimmen, braucht man dafür den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Mit Hilfe der Erkrankungsrate pro Geschlecht, dem Verhältnis von Frauen und Männern in der Gesamtbevölkerung, und der entsprechenden Formel erhält man dann die Gesamtwahrscheinlichkeit einer Parkinsonerkrankung.

In einem Venn-Diagramm kann man das Aufteilen einer totalen Wahrscheinlichkeit wie folgt illustrieren:

Es ist also

\[\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(A \cap B) + \mathbb{P}(A \cap \bar{B}). \]

In unserem Beispiel der Parkinson-Krankheit hieße das: Die Wahrscheinlichkeit für eine beliebige Person, an Parkinson zu erkranken, setzt sich zusammen als die Summe der Wahrscheinlichkeit, ein Mann zu sein und an Parkinson zu erkranken, plus die Wahrscheinlichkeit, eine Frau zu sein und an Parkinson zu erkanken.

Meist sind nicht die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten \(\mathbb{P}(A \cap B)\), sondern die bedingten Wahrscheinlichkeiten \(\mathbb{P}(A | B)\) gegeben. Man kann die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten aber erhalten, indem man die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeiten etwas umstellt:

\[ \mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A | B) \cdot \mathbb{P}(B) \]

Wir erhalten also die verbreitetste Version der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit:

\[\mathbb{P}(A) =\mathbb{P}(A | B) \cdot \mathbb{P}(B) +\mathbb{P}(A | \bar{B}) \cdot \mathbb{P}(\bar{B}). \]

Je nachdem, ob in einer Aufgabe die bedingten oder die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten gegeben sind, nimmt man die eine oder andere dieser beiden Formeln. In den allermeisten Fällen arbeitet man aber mit bedingten Wahrscheinlichkeiten.

Beispielaufgabe

Mit dieser Formel können wir nun für eine zufällige Person beliebigen Geschlechts die totale Wahrscheinlichkeit berechnen, an Parkinson zu erkranken. Wir benötigen dazu die folgenden Notationen:

• \(A\): Die Person erkrankt an Parkinson
• \(B\): Die Person ist männlich.
• \(\bar{B}\): Das Gegenteil von \(B\), also: Die Person ist weiblich.

Aus einer Onlinepublikation über die Prävalenz von Parkinson erhalten wir die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• Die Wahrscheinlichkeit für einen Mann, an Parkinson zu erkranken, liegt bei 0,309%. In unserer Formel bedeutet das: \(\mathbb{P}(A|B) = 0.00309\).
• Die Wahrscheinlichkeit für eine Frau, an Parkinson zu erkranken, liegt bei 0,241%. Analog dazu: \(\mathbb{P}(A|\bar{B}) = 0.00241\).
• Es gibt minimal mehr Männer in der Gesamtbevölkerung, nämlich 51,1%. Also: \(\mathbb{P}(B) = 0.511\).

Mit diesen Werten können wir nun die Gesamtwahrscheinlichkeit für eine beliebige Person berechnen:

\[\begin{array}{rclcl} \mathbb{P}(A) & = & \mathbb{P}(A | B) \cdot \mathbb{P}(B) +\mathbb{P}(A | \bar{B}) \cdot \mathbb{P}(\bar{B}) = \\ & & 0.00309 \cdot 0.511 + 0.00241 \cdot 0.489 = \\ & & 0.00275748 \end{array}\]

Wir enden also bei einer Wahrscheinlichkeit von 0,276% für eine Person beliebigen Geschlechts, an Parkinson zu erkranken. Wichtig ist hier, dass das nicht genau der Mittelwert zwischen \(\mathbb{P}(A|B) = 0.00309\) und \(\mathbb{P}(A|\bar{B}) = 0.00241\) ist, sondern dass diese Werte mit dem Geschlechterverhältnis gewichtet werden, das zwar nahe an 50/50 liegt, aber eben nicht genau gleich ist.

Mehr als zwei Gruppen in \(B\)

Man kann die totale Wahrscheinlichkeit auch bestimmen, wenn es sich um mehr als zwei Gruppen handelt. Dann arbeitet man nicht mit den beiden Ereignissen \(B\) und \(\bar{B}\), sondern z.B. mit drei Ereignissen \(B_1\), \(B_2\), und \(B_3\). Wichtig ist hier, dass diese Gruppen disjunkt sind, d.h. dass sie sich nicht überschneiden. Die Folge dieser Voraussetzung ist, dass sich ihre Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren, dass also jedes mögliche Ereignis in eines, und genau eines der drei Unterereignisse fällt:

\[ \mathbb{P}(B_1) +\mathbb{P}(B_2) +\mathbb{P}(B_3) = 1 \]

Für drei Untergruppen (und analog auch für beliebig viele Untergruppen) des Ereignisses \(B\) bestimmt man die totale Wahrscheinlichkeit wie folgt:

\[ \begin{array}{rclcl} \mathbb{P}(A) & = & \mathbb{P}(A|B_1)\cdot \mathbb{P}(B_1) + \\ & &\mathbb{P}(A|B_2)\cdot \mathbb{P}(B_2) + \\ & &\mathbb{P}(A|B_3)\cdot \mathbb{P}(B_3) \end{array} \]

Eine Wahrscheinlichkeit ist ein Maß für die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments. Bei einem Zufallsexperiment wissen wir, welche möglichen Ereignisse eintreten können (z.B. „morgen regnet es“ und „morgen scheint die Sonne“), aber wir wissen noch nicht, welches Ereignis auftritt. Mit Wahrscheinlichkeiten können wir aber jedem Ereignis eine Art Gewicht geben, und z.B. beschreiben, dass morgen ziemlich sicher die Sonne scheint (mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%), und es ziemlich sicher nicht regnet (nämlich nur mit 10%).

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Wahrscheinlichkeiten können ausgedrückt werden durch

• Prozentzahlen wie z.B. 50%,
• Brüche, wie z.B. \(\frac{1}{2}\), oder
• Dezimalzahlen wie 0.5

Alle drei Darstellungen bedeuten dasselbe, und sind daher auch richtig. Welche man verwendet, bleibt einem selbst überlassen.

Verschiedene Definitionen der Wahrscheinlichkeit

Eine immer wieder gesehene Klausuraufgabe frägt nach den verschiedenen Auffassungen bzw. Definitionen der Wahrscheinlichkeit. Für die gibt es nämlich keine eindeutige Beschreibung, sondern mehrere. Vier davon sehen wir uns hier an:

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Diese Definition der Wahrscheinlichkeit setzt voraus, dass alle elementaren Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Es ist also möglich bei Zufallsexperimenten wie einem Münzwurf (Kopf und Zahl je mit Wahrscheinlichkeit 0.5), oder einem Rouletterad (die Zahlen 0 bis 36 mit jeweils einer Wahrscheinlichkeit von 1/37).

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis \(E\) ist definiert als

\[ \mathbb{P}(E) = \frac{\text{Anzahl der „}\mathrm{g\ddot{u}nstigen}\text{“ Ergebnisse}}{\text{Anzahl aller } \mathrm{m\ddot{o}glichen}\text{ Ergebnisse}} \]

Dazu eine Beispielaufgabe: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Roulettespiel eine schwarze Zahl zu erhalten? (Vergiss die „0“ nicht!)

Objektive oder frequentistische Wahrscheinlichkeit

Wenn man ein Experiment beliebig oft wiederholen kann (man lässt zum Beispiel ein Reiskorn auf ein Schachbrett fallen, und will wissen, mit welcher Wahrscheinlichkeit man im oberen linken Feld landet), kann man die relative Häufigkeit berechnen, indem man einfach die Anzahl der Treffer durch die Anzahl der gesamten Versuche teilt. Der Grenzwert dieses Bruchs, also der Wert der herauskommt wenn die Anzahl der Versuche unendlich groß wird, ist nun die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

Dieses Konzept beschreibt die objektive, oder frequentistische Definition der Wahrscheinlichkeit.

Subjektive Wahrscheinlichkeit

Manchmal kann man Experimente nicht beliebig oft wiederholen. Die Aussage „Die Klausur bestehe ich zu 80%“ basiert z.B. auf einer subjektiven Wahrscheinlichkeitsauffassung, da sie geschätzt und nicht berechnet wurde.

Diese Wahrscheinlichkeit kann man auch als Grad persönlicher Überzeugung auffassen, so wie es der Bayes’sche Wahrscheinlichkeitsbegriff tut.

Axiomatische Definition (nach Kolmogorov)

Axiome sind Aussagen, die nicht bewiesen werden, sondern ohne Beweis vorausgesetzt werden. Mathematische Gebiete beruhen oft auf einigen wenigen Axiomen, mithilfe derer dann alles andere bewiesen wird.

Die drei Axiome, die die Wahrscheinlichkeitstheorie begründen sind die folgenden:

1. Die Wahrscheinlichkeit für jedes erdenkliche Ergebnis liegt zwischen 0 und 1 (jeweils einschließlich). Es gibt also keine Wahrscheinlichkeit von -0.5, und keine Wahrscheinlichkeit von 2.4.
2. Ein Zufallsexperiment muß ein Ergebnis haben. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendein Ergebnis herauskommt, ist also 1.
3. Die Wahrscheinlichkeit, dass irgendeines von zwei Ergebnissen eintritt, ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden einzelnen Ergebnisse. Dies gilt nur, falls sich die beiden Ergebnisse gegenseitig ausschließen.
   Es ist also nicht gültig für \(E_1 = \text{Der }\mathrm{W\ddot{u}rfel}\text{ zeigt eine gerade Zahl}\) und \(E_2 = \text{Der }\mathrm{W\ddot{u}rfel}\text{ zeigt die 4}\), da falls \(E_2\) eintritt, automatisch auch \(E_1\) stimmt.
   Falls aber \(E_1 = \text{Der }\mathrm{W\ddot{u}rfel}\text{ zeigt eine gerade Zahl}\) und \(E_2 = \text{Der }\mathrm{W\ddot{u}rfel}\text{ zeigt die 1}\), so kann man die Wahrscheinlichkeit für \(E_1\) oder \(E_2\) als ihre Summe berechnen:
   \[ \mathbb{P}(E_1 \text{ oder } E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2) = \frac{3}{6} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} \]

Diese drei Axiome wurden natürlich in mathematischen Formeln verpackt. Man versteht diese Formeln am besten, wenn man sie mit der obigen Textinterpretation vergleicht. So sehen die dazugehörigen Formeln aus:

1. \(0 \leq \mathbb{P}(E) \leq 1\) für alle möglichen Ereignisse \(E\).
2. \(\mathbb{P}(\Omega) = 1\), wobei \(\Omega\) für das sichere Ereignis steht.
3. Falls \(E_1 \cap E_2 = \emptyset\), dann ist \(\mathbb{P}(E_1 \cup E_2) = \mathbb{P}(E_1) + \mathbb{P}(E_2)\).