Fakultät und Binomialkoeffizient

Diese beiden Konstrukte, die Fakultät sowie der Binomialkoeffizient, werden in der Kombinatorik häufiger gebraucht. Es handelt sich im Prinzip nur um abkürzende Schreibweisen.

Die Fakultät wird durch ein nachgestelltes Ausrufezeichen dargestellt und ist eine bestimmte Art von Produkt:

\[ N! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot N \]

So ist die Fakultät von 5 also \(5! = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120\). Die Fakultät von 0 ist ein Spezialfall und definiert als \(0! = 1\).

Mit der Schreibweise des Produktzeichens \(\Pi\) kann man diese Formel noch etwas verkürzt darstellen:

\[25! = \Pi_{i=1}^{25} i\]

Durch das \(\Pi\) spart man sich jetzt die Arbeit, die Zahlen \(1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 25\) ausschreiben zu müssen.

Ein nützlicher Fakt, mit dem man super ein erstes Date platzen lassen kann, ist dieser: Es gibt genau \( 10! \) Sekunden innerhalb eines Zeitraums von 6 Wochen. Die Herleitung geht so: Die Anzahl der Sekunden in 6 Wochen ist 6 (Wochen) \(\cdot\) 7 (Tage) \(\cdot\) 24 (Stunden) \(\cdot\) 60 (Minuten) \(\cdot\) 60 (Sekunden). Durch Aufteilen mancher Zahlen in kleinere Faktoren erhält man dann:

\[ 6 \cdot 7 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 =6\cdot 7 \cdot (8 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 10) \cdot ( 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = 10! \]

Man kann auch Produkte in dieser Kurzschreibweise ausdrücken, die nicht bei 1 beginnen. Das Produkt \(8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\) kann man als \(\frac{8!}{4!}\) schreiben, weil sich die Faktoren 4, 3, 2, 1 im Nenner wieder wegkürzen:

\[ \frac{8!}{4!} = \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 \]

In einem späteren Beispiel zur Lottoziehung möchten wir wissen, was \(49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44\) ist: \(\frac{49!}{43!}\)

Der Binomialkoeffizient ist eine verkürzende Schreibweise für eine häufig benutzte Formel in der Kombinatorik:
\[ {N \choose k} = \frac{N!}{k!\cdot (N-k)!} \] Man spricht dieses Konstrukt als „N über k“ oder „k aus N“ aus. Diese Formel wird später in der Kombinatorik wichtig. Wenn wir z.B. wissen wollen, wieviele verschiedene Möglichkeiten es gibt, 2 Personen aus einer Menge von 10 Personen auszuwählen, so ist das einfach das Ergebnis der Formel \({10 \choose 2}\). Wer nachrechnen möchte, das Ergebnis wird 45 sein.

10 Gedanken zu „Fakultät und Binomialkoeffizient

  1. AvatarJulian

    Moin Alex,

    bei der Produkt-Schreibweise stehe ich etwas auf dem Schlauch. Gehört die 5 auch zur 2, sodass da eigentlich 25 stehen sollte? Andernfalls kann ich das leider nicht nachvollziehen. Magst du nochmal erklären, was die Produktschreibweise ausgeschrieben ergeben würde?

    Danke!

    Antworten
    1. AlexAlex Beitragsautor

      Hi Julian,
      das war ein Schreibfehler meinerseits. Vielen Dank für den Hinweis, ich hab ihn korrigiert. Jetzt ist es hoffentlich klarer 🙂
      Viele Grüße!

      Antworten
  2. AvatarTila

    Hi, hilf mir bitte mal auf die Sprünge, ich hab wohl nen Knoten im Gehirn;
    6*7*24*60*60 = 6*7*(3*8)*(3*2*10)(1*3*4*5), soweit ist das klar.

    Ich sehe in der Formel 3 dreien, je eine pro Klammer. Eine brauche ich für die 3 und drei weitere für die 9? Wo versteckt sich die fehlende 3???

    Antworten
    1. AlexAlex Beitragsautor

      Du brauchst nur zwei Dreier für die 9. Die werden nicht addiert (3+3+3=9), sondern multipliziert (3*3=9) 🙂

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  3. AvatarMario

    Hallo Alex,
    Fakultät 5, also 5! ist 120 und nicht 625.
    Ansonsten vielen Dank für Deine wirklich coole Seite!
    Hat mir schon sehr geholfen.

    LG Mario

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    1. AlexAlex Beitragsautor

      Hi Mario,
      danke für den Hinweis, habs korrigiert! Keine Ahnung wie die 625 da hingekommen ist.. 6! ist auch was anderes 🙂
      Gruß,
      Alex

      Antworten
  4. AvatarLena Schranz

    Hi,
    ich glaube, hier ist ein kleiner Fehler unterlaufen.
    Bei dem Beispiel Lotto möchte man 49*48*47*46*45*44 ausrechnen. Das wird dann angezeigt als
    49! / 44! aber es müsste eigentlich 49! / 43! sein, denn sonst würde die 44 ja auch weggekürzt werden.
    Liebe Grüße,
    Lena

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