Variationskoeffizient

Der Variationskoeffizient (oft mit \(v\) bezeichnet) ist eine Kennzahl, die die Streuung eines Merkmals beschreibt. Er wird berechnet indem man die Standardabweichung der Daten durch ihren Mittelwert teilt:

\[ v = \frac{s}{\bar{x}} \]

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Der Vorteil des Variationskoeffizienten \(v\) gegenüber der Standardabweichung \(s\) ist, dass dem Variationskoeffizient egal ist, auf welcher Skala die Daten gemessen wurden. Misst man etwa die Körpergrösse von fünf Personen in Zentimeter, kommt ein anderer Mittelwert raus (z.B. 175) als wenn man die Körpergrösse in Meter misst (dann sind es z.B. 1,75). Dasselbe passiert mit der Varianz und der Standardabweichung, aber nicht mit dem Variationskoeffizenten.

Dazu können wir uns beispielhaft die gerade erwähnten Daten anschauen, die Körpergrösse von fünf Personen in Zentimetern und in Metern:

Person \(i\) 1 2 3 4 5
Körpergrösse in Zentimeter 160 173 177 164 182
Körpergrösse in Meter 1.60 1.73 1.77 1.64 1.82

Beispielaufgabe

Berechne für beide Datenreihen, die Körpergrösse in Zentimeter sowie in Meter, die folgenden Kennzahlen:

Eine Anleitung zum Berechnen der ersten drei Werte findest du in den entsprechenden Artikeln. Den Variationskoeffizienten \(v\) erhältst du wie oben erklärt, indem du die Standardabweichung \(s\) durch den Mittelwert \(\bar{x}\) teilst.

Zum Nachprüfen: Die folgenden Kennzahlen sind richtig:

in Zentimeter in Meter
Mittelwert \(\bar{x}\) 171.2 1.712
Varianz \(s^2\) 82.7 0.00827
Standardabweichung \(s\) 9.09 0.0909
Variationskoeffizient \(v\) 0.0531 0.0531

Es fällt hier auf, dass der Mittelwert, die Varianz und die Standardabweichung jeweils andere Werte annehmen, aber der Variationskoeffizient \(v\) für beide Daten gleich ist. Aus diesem Grund ist der Variationskoeffizient eine geeignete Maßzahl, wenn man die Streuung eines Merkmals unabhängig von ihrer Skalierung beschreiben möchte.

Man kann auch den Variationskoeffizienten von zwei oder mehr Merkmalen mit unterschiedlicher Skalierung vergleichen, z.B. die Körpergröße und das Gewicht von Studenten, oder die Population der USA und Deutschland. Wo normalerweise die Standardabweichung eines Merkmals mit großem Mittelwert (z.B. die Bevölkerung der USA) automatisch dazu tendiert, größer zu sein, ist der Variationskoeffizient nun vergleichbar.

20 Gedanken zu „Variationskoeffizient

    1. Alex Beitragsautor

      Also, mathematisch möglich ist es ab zwei Werten. Sinn macht es in meinen Augen erst bei einer „richtigen“ Stichprobengröße, irgendwo ab 10 bis 30 Beobachtungen 🙂

      Antworten
      1. Caro V.

        Also wenn ich jetzt eine Messreihe im Duplikat habe. Ich setzte also zweimal das gleiche an und messe die optische Dichte. Dann möchte ich schauen in wie weit die beiden Werte schwanke/abweichen. Da würde es dann keinen Sinn machen?
        Eher die Abweichung berechenen?

        Antworten
  1. Martin Conzett

    Wie wird der Variations-Koeffizient ermittelt, wenn ein Durchschnitt den Wert null hat ?

    Besten Dank und Gruss

    Antworten
    1. Alex Beitragsautor

      Hallo Martin,
      dann ist der Variationskoeffizient nicht definiert. Am besten wird er verwendet in Situationen mit physikalischen Messgrößen, wo die „Null“ eine Bedeutung hat, z.B. bei Körpergröße, Gewicht, oder Geldmengen. Idealerweise ist die Skala dann nur positiv, es können also keine negativen Werte auftreten.

      Falls der Mittelwert wirklich exakt Null ist, müsste man stattdessen einfach „nur“ die Standardabweichung verwenden.

      Antworten
      1. Martin Conzett

        Hallo Alex

        ich danke dir für die prompte und kompetente Antwort.

        Besten Dank und Gruss aus Winterthur

        Antworten
  2. Karline

    Hallo zusammen,
    ich habe eine kurze Frage:
    Gibt es einen allgemein anerkannten Wert zur Einteilung des Variationskoeffizienten?
    Also kann man sagen ab bspw. xxx % handelt es sich um eine hohe Streuung? Oder unter yyy % ist noch alles im Rahmen?

    Ich hoffe, ihr könnt mir schnell weiterhelfen.
    Danke und Gruss
    Karline

    Antworten
    1. Alex Beitragsautor

      Hallo Karline,
      dazu gibt es keine Faustregeln. Das kommt immer auf deinen Datensatz an, und die genaue fachliche Frage dahinter.
      Viele Grüße,
      Alex

      Antworten
  3. A.

    Super Erklärung!
    …aber was sagt genau der Variationskoeffizient aus? Ein Beispiel:
    VK für Landliebe: 0,6 – VK für Samsung 0,3 –> welches streut jetzt mehr?

    Zweite Frage: was genau bedeutet der Wert? (0,6 % Abweichung vom Mittelwert oder wie?)

    Großes Danke im Voraus! 🙂

    Antworten
    1. Alex Beitragsautor

      Das mit dem höheren VK streut mehr 🙂

      Man kann den Wert nicht einfach in Worte fassen. Es ist wirklich einfach eine Zahl, die man dann mit anderen VKs vergleichen kann.

      Antworten
      1. Horst

        Du schreibst doch selbst: „Den Variationskoeffizienten v erhältst du wie oben erklärt, indem du die Standardabweichung s durch den Mittelwert x¯ teilst.“

        Der VK ist die Standardabweichung, ausgedrückt in Prozent. Die Standardabweichung liegt in eurem Beispiel oben 5.331% um den Mittelwert.

        Antworten
  4. Felix

    Hi Alex,

    aber warum teilst du denn durch (n-1), also n=4 und nicht n=n, also 5 ??

    Wäre sehr dankbar über eine schnelle Antwort.

    Antworten
  5. Sara

    Hallo, erst mal vielen Dank für die gute Erklärung 🙂
    nur bei der Rechnung von der Varianz komme ich nicht auf das selbe Ergebnis, verstehe nicht was ich falsch gemacht habe 🙁
    Bitte um Hilfe !!!

    Meine Rechnung für die Varianz (cm) :
    ((160-171,2)²+(173-171,2)²+(177-171,2)²+(164-171,2)²+(182-171,2)²) / 171,2
    =1.93

    Antworten
    1. Alex Beitragsautor

      Hi Sara,

      du musst am Ende durch \(n-1\) teilen, nicht durch \(\bar{x}\). Also das allerletzte 171,2 ersetzen durch 4

      Antworten
      1. Josefine

        Hallo,

        wieso muss man denn durch 4 teilen? Es sind doch fünf Personen, von denen Werte ermittelt wurden.
        durch 5 geteilt kommt sx^2=66,16
        und sx= 8,13 raus bei mir..

        Antworten

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