Der \(\phi\)-Koeffizient ist ein Zusammenhangsmaß für zwei binäre (oder dichotome) Variablen, das heißt zwei Variablen, die jeweils nur zwei mögliche Ausprägungen haben. Die resultierenden Daten kann man in einer 2×2-Kreuztabelle zusammenfassen. (Für größere Tabellen muss man auf den Chi-Quadrat- oder den Kontingenzkoeffizienten ausweichen)

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Als Beispiel sehen wir uns eine andere Darstellung der Daten aus dem Artikel zum \(\chi^2\)-Koeffizienten an: Wir betrachten für 180 Züge nur, ob sie (a) unter der Woche oder am Wochenende abfahren, und (b) ob sie pünktlich oder mit Verspätung abfahren. Wir fassen also die letzten beiden Spalten der Tabelle aus dem obigen Artikel zusammen, und erhalten diese Tabelle:

Mit dem \(\phi\)-Koeffizienten beantworten wir nun die Frage, wie stark der Zusammenhang dieser beiden Variablen ist, ob es also am Wochenende unterschiedlich viele Verspätungen gibt wie unter der Woche.

Allgemein sieht eine 2×2-Kreuztabelle (siehe Artikel) wie folgt aus:

Der \(\phi\)-Koeffizient berechnet sich nun wie folgt:

\[ \phi = \frac{h_{11}\cdot h_{22} – h_{12}\cdot h_{21}}{\sqrt{h_{1 \cdot} \cdot h_{2 \cdot} \cdot h_{\cdot 1} \cdot h_{\cdot 2} }} \]

Er kann (im Gegensatz zum \(\chi^2\)-Koeffizienten und dem Kontingenzkoeffizienten \(K\)) Werte von -1 bis 1 annehmen, nicht nur von 0 bis 1. Auch hier bedeutet ein Wert von \(\phi=0\), dass kein Zusammenhang vorliegt. Je näher der Wert an -1 oder 1 rückt, desto stärker ist der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen.

In unserem Beispiel setzen wir also ein:

\[ \phi = \frac{58 \cdot 28 – 62 \cdot 32}{\sqrt{120 \cdot 60 \cdot 90 \cdot 90}} = -0.0471 \]

Wir erhalten einen Wert, der fast Null ist, können also sagen, dass wir hier keinen großartigen Zusammenhang gefunden haben.

Zwei nominale oder ordinale Merkmale werden immer mit einer Kreuztabelle visualisiert. Im entsprechenden Artikel gibt es Beispieldaten für die Merkmale „Geschlecht“ und „gewählte Partei“. Um nun zu beschreiben, wie gross der Zusammenhang zwischen den beiden Variablen ist, gibt es drei Koeffizienten, die in diesem Artikel vorgestellt werden, wobei die drei Werte am besten nacheinander berechnet werden:

1. Aus der Kreuztabelle berechnet man die Unabhängigkeitstabelle (manchmal auch Indifferenztabelle genannt)
2. Mithilfe derer berechnet man den \(\chi^2\)-Koeffizienten.
3. Aus dem \(\chi^2\)-Koeffizienten berechnet man (falls gewünscht) den Kontingenzkoeffizienten \(K\).
4. Aus dem Kontingenzkoeffizienten \(K\) berechnet man schließlich (falls gewünscht) den korrigierten Kontingenzkoeffizienten \(K^*\).

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Wird also in einer Klausur nur nach dem \(\chi^2\)-Koeffizienten gefragt, führt man nur die ersten beiden Schritte aus. Wird stattdessen nur nach dem korrigierten Kontingenzkoeffizienten \(K^*\) gefragt, muss man alle vier Schritte berechnen.

Wir verwenden für die Berechnung als Beispiel eine Stichprobe von Verspätungen von Zügen. Es wurden für \(n=180\) Züge gemessen, ob sie pünktlich, mit einer Verspätung von 1-15 Minuten, oder mit mehr als 15 Minuten Verspätung abgefahren sind. Zusätzlich wurde festgehalten, ob der Zug an einem Wochentag (Montag-Freitag) oder am Wochenende abgefahren ist:

Um nun zu überprüfen, wie stark der Zusammenhang zwischen dem Wochentag und der Verspätung ist, berechnen wir die Abweichung dieser echten Tabelle von der Unabhängigkeitstabelle:

1. Berechnen der Unabhängigkeitstabelle

Angenommen, man bekommt nicht die Tabelle wie oben angegeben, sondern nur die getrennten Häufigkeiten (in der Tabelle heißen sie Randhäufigkeiten) für die Verspätung, sowie für den Wochentag. Man kann sich dann nur die folgende Tabelle aufstellen:

Unter der Annahme, dass es nun gar keinen Zusammenhang zwischen den zwei Variablen „Wochentag“ und „Verspätung“ gibt, können wir die erwarteten Häufigkeiten \(e_{ij}\) für die Tabelle berechnen.

Ein Beispiel: Wir wissen, dass insgesamt 60 der 180 Züge (das ist \(\frac{1}{3}\)) am Wochenende abgefahren sind. Wir wissen auch, dass insgesamt 90 von 180 Zügen (das ist die Hälfte) pünktlich abgefahren sind. Wir würden daher erwarten, dass auch innerhalb der Untergruppe der 60 Züge vom Wochenende die Hälfte der Züge (also dann 30 von 60) pünktlich abgefahren sind. Die erwartete Anzahl im Feld \(e_{21}\) ist also 30.

Die Berechnung dieses Gedankens in mathematischer Notation funktioniert, indem wir die Anzahl der pünktlichen Züge (also 90) multiplizieren mit dem Anteil der Züge am Wochenende, \(\frac{60}{180}\). Das ergibt insgesamt \(\frac{60}{180} \cdot 90\), oder, etwas zusammengerückt, \(\frac{60 \cdot 90}{180}\).

Die Formel, die diesen Gedanken ausdrückt, lautet allgemein:

\[ e_{ij} = \frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n} \]

Die Notationen \(h_{i\cdot}\) usw. sind im Artikel Kreuztabellen erklärt. Am oben schon berechneten Beispiel für das Feld \(e_{21}\) schreibt man die Formel aus zu \(e_{21} = \frac{h_{2\cdot} \cdot h_{\cdot 1}}{n} = \frac{60 \cdot 90}{180} = 30\). So kann man nun alle erwarteten Häufigkeiten bestimmen, und landet am Ende bei der folgenden Unabhängigkeitstabelle:

In der Realität (und in Klausuren) können in den erwarteten Häufigkeiten auch Kommazahlen wie z.B. „32.4 Züge“ herauskommen.

2. Berechnen des \(\chi^2\)-Koeffizienten

Der \(\chi^2\)-Koeffizient ist nun ein Wert, der entsteht indem man die Abweichungen der tatsächlichen Häufigkeiten von den erwarteten Häufigkeiten der Unabhängigkeitstabelle betrachtet. Es wurden zum Beispiel 58 Züge beobachtet, die unter der Woche (Mo-Fr) pünktlich abgefahren sind (das ist \(h_{11}\)). Unter totaler Unabhängigkeit würden wir \(e_{11} = \frac{120 \cdot 90}{180} = 60\) Züge in dieser Zelle erwarten. Die Abweichung ist also in diesem Fall 2 Züge.

Um den \(\chi^2\)-Koeffizienten zu berechnen, wird diese Abweichung nun noch quadriert, und danach durch die jeweilige erwartete Häufigkeit geteilt. Wir enden also bei \(\frac{2^2}{60} = 0.0667\).

Genau diese Berechnung (Abweichung \(\rightarrow\) quadrieren \(\rightarrow\) durch \(e_{ij}\) teilen) macht man nun für alle 6 Zellen in der Tabelle. Die resultierenden 6 Zahlen schreibt man auf – man kannn sie der Übersicht halber in eine neue Tabelle übertragen. Versucht es als Übung, und prüft, ob ihr diese Werte herausbekommt:

Der \(\chi^2\)-Koeffizient ist nun die Summe all dieser Zahlen:

\[ \chi^2 = 0.0667 + 0.9 + 0.8 + 0.1333 + 1.8 + 1.6 = 5.3 \]

Wenn \(\chi^2=0\) ist, dann sind in jeder Zelle der Tabelle die tatsächlichen Häufigkeiten genau gleich der erwarteten Häufigkeiten. Das wäre also eine „perfekte“ Unabhängigkeit. Je weiter sich der Wert von \(\chi^2\) von 0 entfernt, desto eher sprechen die Daten für eine Abhängigkeit zwischen den beiden Variablen.

Die Formel für den \(\chi^2\)-Koeffizienten

Das, was in diesem Abschnitt gerade ausführlich erklärt wurde, kann man in eine Formel zusammenfassen. Der \(\chi^2\)-Koeffizient ist die Summe über alle Zeilen \(i\) und alle Spalten \(j\), über die quadrierten und dividierten Abweichungen \(\frac{(h_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}\). Es ist also

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J \frac{(h_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}} \]

Die einzelnen Buchstaben sind im Artikel Kreuztabellen erklärt. Wenn man die erwarteten Häufigkeiten \(e_{ij}\) nun auch noch ausschreibt (sie sind ja \(e_{ij} = \frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n}\)), kommt man zur oft gesehenen, aber sehr komplizierten Formel

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J \frac{(h_{ij}-\frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n})^2}{\frac{h_{i\cdot} \cdot h_{\cdot j}}{n}} \]

Diese Formel fasst nun das gesamte Vorgehen bisher zusammen, sieht aber dafür eher furchteinflößend aus. Wer also mit dieser Formel Schwierigkeiten hat, findet es bestimmt hilfreich, sich das schrittweise Vorgehen einzuprägen oder intuitiv zu verstehen, warum \(\chi^2\) auf diese Art bestimmt wird.

Wann ist \(\chi^2\) gleich Null?

Der Wert für \(\chi^2\) kann zwischen 0 und \(\infty\) liegen. Je näher die Häufigkeiten der echten Tabelle an den erwarteten Häufigkeiten liegen, desto kleiner wird der Wert für \(\chi^2\).

Falls im Extremfall dieselbe Zahl in jeder Zelle steht, wie erwartet wurde, also \(h_{ij} = e_{ij}\) in jeder Zelle ist, dann sind die einzelnen Summanden für \(\chi^2\) alle gleich Null, und somit der gesamte Wert für \(\chi^2\) gleich Null. Dieser Fall tritt in der Praxis allerdings so gut wie nie auf, da es schon ein sehr großer Zufall sein müsste, genau die erwarteten Häufigkeiten zu beobachten.

3. Berechnen des Kontingenzkoeffizienten \(K\)

Der Nachteil des \(\chi^2\)-Koeffizienten ist nun, dass er Werte zwischen \(0\) und \(\infty\) angeben kann. Das bedeutet, dass man die tatsächliche Stärke des Zusammenhangs schlecht anhand des \(\chi^2\)-Wertes ablesen kann.

Der Kontingenzkoeffizient behebt diese Schwäche nun, denn er ist einfach eine normierte Version des \(\chi^2\)-Koeffizienten. Man berechnet ihn durch

\[ K = \sqrt{\frac{\chi^2}{\chi^2 + n}} \]

In unserem Beispiel haben wir die Verspätung für \(n=180\) Züge gemessen, und oben einen \(\chi^2\)-Koeffizienten von \(\chi^2=5.3\) bestimmt. Der Kontingenzkoeffizient in unserem Beispiel ist also

\[ K = \sqrt{\frac{5.3}{5.3+180}} = 0.169 \]

4. Berechnen des korrigierten Kontingenzkoeffizienten \(K^*\)

Der Kontingenzkoeffizient \(K\) ist nun fast normiert – sein Wertebereich geht nicht von 0 bis 1, sondern von 0 bis \(\sqrt{\frac{c-1}{c}}\) (das ist ein Wert, der auf jeden Fall kleiner als 1 ist). \(c\) ist definiert als die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der Kreuztabelle, je nachdem welcher Wert kleiner ist. In mathematisch heißt das: \(c = \min(I, J)\). In unserem Beispiel ist \(c=2\), da wir 2 Zeilen in der Kreuztabelle haben.

Um \(K\) jetzt endgültig in den Wertebereich von 0 und 1 zu normieren, gibt es den korrigierten Kontingenzkoeffizienten \(K^*\). Er wird berechnet durch

\[ K^* = \sqrt{\frac{c}{c-1}} K \]

In unserem Fall ist \(K^* = \sqrt{\frac{I}{I-1}} \cdot K = \sqrt{\frac{2}{2-1}} \cdot 0.169= 0.239\).

Da der Wert für \(K^*\) zwischen 0 (kein Zusammenhang) und 1 (großer Zusammenhang) liegen kann, deutet unser Wert von 0.239 hier auf einen eher geringen Zusammenhang hin.

Mit der Spearman-Korrelation misst man ebenso wie mit der Pearson-Korrelation den Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Er nimmt ebenso Werte von -1 (perfekte negative Korrelation) bis +1 (perfekte positive Korrelation) an, und ist nahe bei 0, falls gar keine Korrelation vorliegt.

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Der Spearman-Korrelationskoeffizient \(r_\text{Sp}\) wird auch Rangkorrelationskoeffizient genannt, weil nur er einen kleinen, aber entscheidenden Unterschied zum klassischen Pearson-Korrelationskoeffizienten \(r\) hat:

Die Korrelation wird nicht zwischen den Datenpunkten selbst, sondern zwischen ihren Rängen berechnet. Ein Beispiel veranschaulicht das schnell:

Beispiel: Alter vs. Performance beim 100m-Lauf

Wir möchten den Zusammenhang zwischen dem Alter einer Person und ihrer Performance beim 100-Meter-Sprint analysieren. Dazu messen wir von 6 Personen das Alter in Jahren, und die Zeit für 100 Meter in Sekunden:

Wir können nun die klassische Pearson-Korrelation zwischen den Variablen „Alter“ und „Zeit“ berechnen:

\[r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) (y_i – \bar{y})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} } \]

Wer zur Übung nachrechnen will, das Ergebnis ist \(r = 0.73\). Um für dieselben Daten nun die Spearman-Korrelation zu berechnen, betrachten wir für beide Merkmale nicht die tatsächlichen Werte „Alter“ und „Zeit in Sekunden“, sondern deren Ränge. Wir arbeiten also mit den Platzierungen auf der Siegertreppe statt mit der tatsächlichen Zeit, und ebenso mit dem „Platz“ oder dem Rang des Alters.

In der Tabelle entstehen dafür zwei neue Spalten für die beiden Ränge. Die Ränge werden hier aufsteigend vergeben, was bedeutet dass die kleinste Zahl den Rang 1 erhält, usw.:

Den Spearman-Korrelationskoeffizient erhält man nun, wenn man die Formel der Korrelation nicht auf die Variablen „Alter“ und „Zeit“ anwendet, sondern auf deren Ränge:

Links ist das Alter und die Zeit für 100 Meter in einem Scatterplot dargestellt. Aus diesen Daten wird die Pearson-Korrelation \(r\) berechnet. Rechts sind die dazugehörigen Ränge (jeweils von 1 bis 6) dargestellt. Mit diesen Rängen berechnet man den Spearman-Korrelationskoeffizienten \(r_\text{Sp}\).

Die Formel für die Spearman-Korrelation ist genau dieselbe wie für die Pearson-Korrelation, nur werden die Daten \(x_i\) und \(y_i\) mit ihren jeweiligen Rängen ersetzt:

\[r_\text{Sp} = \frac{\sum_{i=1}^n (\text{rang}(x_i) – \overline{\text{rang}(x)}) (\text{rang}(y_i) – \overline{\text{rang}(y)})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (\text{rang}(x_i) – \overline{\text{rang}(x)})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (\text{rang}(y_i) – \overline{\text{rang}(y)})^2} } \]

Es ist wichtig zu verstehen dass dieser Koeffizient genauso berechnet wird wie die Pearson-Korrelation, und der einzige Unterschied ist, dass die Ränge statt der Originaldaten verwendet werden. Die Formel und das Vorgehen sind aber genau dasselbe wie im Artikel zur Pearson-Korrelation beschrieben.

Zur Übung: Berechne nun die Spearman-Korrelation dieser Daten. Verwende dazu die Ränge \(\text{rang}(x_i)\) und \(\text{rang}(y_i)\) aus der obigen Tabelle. Für die Berechnung kannst du je nach Vorliebe Formel 1 oder Formel 2 aus dem Artikel zur Pearson-Korrelation verwenden. Der resultierende Wert soll \(r_\text{Sp} = 0.83\) ergeben.

Zur Interpretation kann man nun sagen, dass mit steigendem Rang des Alters auch der Rang des Platzes ansteigt. Vorsicht. Ein „steigender“ Rang heißt hier, dass die Zahl des Platzes höher wird, die Person also langsamer läuft und später ins Ziel kommt! Das heißt in klaren Worten: Ältere Personen werden tendenziell später im Ziel ankommen.

Eine kurze Bemerkung noch: Die Ränge könnte man auch andersrum vergeben, dass also die älteste Person (oder die langsamste Person) den Rang 1 bekommt. Dann würde sich der Spearman-Koeffizient nur im Vorzeichen ändern, aus \(r_\text{Sp} = 0.83\) würde also \(r_\text{Sp} = -0.83\) werden. Die Interpretation würde dann etwas anders ablaufen, aber zum selben Ziel kommen: Die negative Korrelation bedeutet, dass mit steigendem Rang des Alters (d.h. jüngere Personen) der Rang der Platzierung sinkt (d.h. die Person schneller im Ziel ankommt). Hier also in klaren Worten: Je jünger eine Person wird, desto schneller kommt sie im Ziel an. Und daher genau dasselbe wie vorher.

Was ist der Effekt davon, die Ränge statt der Originaldaten zu nehmen?

Da bei der Spearman-Korrelation die Ränge verwendet werden, sind dort die tatsächlichen Abstände zwischen z.B. Platz 1 und Platz 2 egal. Die Spearman-Korrelation ist immer dann 1, wenn der niedrigste Wert für \(x\) gepaart ist mit dem niedrigsten Wert von \(y\), usw.

Links ist ein Scatterplot für Beispieldaten \(x\) und \(y\). Der niedrigste \(x\)-Wert gehört zum niedrigsten \(y\)-Wert, usw., jedoch ist der Zusammenhang nicht linear, sondern folgt einer Kurve. Rechts sieht man nun die Ränge der Daten gegeneinander geplottet. Der hieraus resultierende Spearman-Korrelationskoeffizient ist genau 1.

Mathematisch sagt man: Die Spearman-Korrelation misst den monotonen Zusammenhang, während die Pearson-Korrelation den linearen Zusammenhang misst.

Was passiert bei gleichen Rängen, also „Unentschieden“?

Es kann passieren, dass z.B. zwei oder mehr Werte für \(x\) denselben Wert annehmen. In diesem Fall wird den entsprechenden Werten der Durchschnittsrang zugewiesen. Hierzu drei Beispiele, hätten die Personen aus dem obigen 100-Meter-Sprint stattdessen ein anderes Alter gehabt:

In der obigen Tabelle haben zwei Personen dasselbe Alter, deren Ränge 2 und 3 wären. Daher bekommen beide Personen den Durchschnittsrang 2.5.

Hier haben drei Personen dasselbe Alter. Deren Ränge wären 3, 4, und 5. Der resultierende Durchschnittsrang für alle drei Personen ist also 4.

Eine kürzere Formel für die Spearman-Korrelation

Das oben angegebene Vorgehen zur Berechnung von \(r_\text{Sp}\) ist zwar (hoffentlich) einleuchtend und nachvollziehbar, aber die Formel ist doch sehr aufwändig auszurechnen. Es gibt zum Glück eine kürzere Formel, mit der die Spearman-Korrelation schneller ausgerechnet werden kann.

\[ r_\text{Sp} = 1 – \frac{6 \cdot \sum_{i=1}^n d_i^2}{n\cdot (n^2 -1)} \]

Vorsicht: Diese Formel darf man nur dann anwenden, wenn es keine Bindungen in den Daten gibt. Es müssen also alle \(x_i\) verschieden voneinander sein, und außerdem alle \(y_i\) voneinander verschieden sein. Andernfalls kommt mit dieser Formel ein anderes Ergebnis heraus.

Hier ist \(d_i\) die Rangdifferenz, d.h. der Unterschied zwischen den beiden Rängen für eine Beobachtung. Wenn also im oberen Beispiel jemand der jüngste ist (also sein Rang des Alters 1 ist), und das drittschnellste Ergebnis gelaufen ist (also der Rang der Platzierung 3 ist), ist die Rangdifferenz \(d_i = 1 – 3 = -2\). Diese Differenz bestimmen wir nun für jeden Läufer:

Somit können wir die quadrierten (nicht vergessen!) Rangdiffernzen aufsummieren:

\[ \sum_{i=1}^n d_i^2 = 0^2 + 1^2 + 0^2 + (-2)^2 + 0^2 + 1^2 = 6 \]

Dieses Ergebnis setzen wir in die obige Formel nun ein:

\[ \begin{align*} r_\text{Sp} &= 1- \frac{6 \cdot \sum_{i=1}^n d_i^2}{n\cdot (n^2 -1)}\\ &= 1- \frac{6 \cdot 6}{6 \cdot (6^2 – 1)}\\ &= 0.828\end{align*} \]

Es kommt auf diesem Weg natürlich derselbe Wert für die Spearman-Korrelation heraus, \(r_\text{Sp} = 0.83\)

Zwischen einem reinem Zusammenhang, d.h. einer Korrelation zwischen zwei Variablen, und einer tatsächlichen Auswirkung von einer auf die andere Variable, d.h. einer Kausalität, besteht noch ein großer Unterschied, der in diesem Artikel behandelt wird.

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Sehen wir uns eine Grafik dazu an. Wir befragen \(n=30\) Personen zu ihrer Schuhgröße und ihrem monatlichem Einkommen.

Die Korrelation beträgt hier \(r=0.709\).

Wir sehen einen Zusammenhang zwischen den beiden Variablen, der auch tatsächlich vorhanden ist, und durch den Korrelationskoeffizienten \(r\) berechnet werden kann. Es wäre jetzt aber falsch, deswegen auch auf eine Auswirkung von einer der beiden Variablen auf die andere zu schließen.

Einen Korrelation (oder einen Zusammenhang) formuliert man so: „Menschen mit größerer Schuhgröße haben tendenziell ein höheres Einkommen“.

Eine Kausalität würde aber so formuliert werden: „Die Schuhgröße hat einen Einfluss auf das Nettoeinkommen“.

Wenn der zweite Satz stimmen würde, dann könnte man sich morgen Schuhe der Größe 65 kaufen, und bekäme deswegen eine saftige Gehaltserhöhung. Das macht natürlich keinen Sinn. Auch umgekehrt wäre eine Kausalität sinnlos, denn dann hätte das Einkommen eine Auswirkung auf die Schuhgröße. Wenn ich also eine Gehaltserhöhung bekäme, würden deswegen meine Füße wachsen.

Eine Korrelation zwischen zwei Merkmalen \(X\) und \(Y\) bedeutet also noch nicht, dass \(Y\) ein Verursacher von \(X\) ist (oder \(X\) ein Verursacher von \(Y\)). Dieses Phänomen nennt man Scheinkorrelation.

Viele, teils richtig absurde Korrelationen gibt es auf der Webseite „Spurious Correlations“.

Was allerdings hier wahr ist: Wenn man zwei Menschen mit unbekanntem Einkommen auf einem Blatt Papier stehen hat, und einer eine viel größere Schuhgröße hat, erwarten wir von dieser Person ein höheres Einkommen als von der anderen.

Mediator-/Confoundervariablen

Wer aufgepasst hat, weiss vielleicht schon, was hier vor sich geht: Wir haben eine wichtige Variable, nämlich das Geschlecht der Personen nicht beachtet. Es ist nun so, dass Frauen im Durchschnitt 22% weniger verdienen als Männer. Das hat ein paar erklärbare Gründe, wie z.B. die Tendenz, dass Frauen häufiger Teilzeitjobs oder schlechter bezahlte Berufe annehmen, und ihnen eine steile Karriere nicht so wichtig ist wie z.B. geistige Gesundheit. Aber der Effekt auf das Einkommen ist trotzdem da. Wenn wir unsere befragten Personen nun nach Geschlecht auftrennen, erkennen wir zwei Gruppen, nämlich eine mit großen Füßen und eine mit kleinen Füßen, in denen jeweils keine Korrelation besteht:

Die zu Beginn ignorierte Variable „Geschlecht“ ist hier eine Mediator- oder Confoundervariable (die Worte bedeuten das gleiche, aber in gewissen Fachbereichen benutzt man eines lieber als das andere).

Beispiel aus der Realität

Das klingt nun vielleicht alles etwas realitätsfern, weil mein Beispiel sehr offensichtlich unklug war. Solche Sachen passieren allerdings in der Realität, und auch unter Experten:

Im New England Journal of Medicine, einer hoch angesehenen wissenschaftlichen Zeitschrift, wurde 2012 ein Artikel veröffentlicht, der genau diesen Fehler machte. Sie fanden eine Korrelation zwischen Schokoladenkonsum und Anzahl an Nobelpreisträgern in einem Land, und schlossen auf einen Einfluss von Schokolade auf Intelligenz.

Quelle: Messerli, Franz H. (2012). Chocolate Consumption, Cognitive Function, and Nobel Laureates. New England Journal of Medicine, 367:16, 1562-1564.

Ein Blogartikel, der dieses Beispiel (auf Englisch) ausführlich behandelt, und sich am Ende sogar darüber lustig macht, ist hier zu finden.

Kausalität nachweisen

Wie man sieht, gibt es mehrere mögliche Erklärungen für eine Korrelation zwischen zwei Variablen \(X\) und \(Y\). Es könnte z.B. \(X\) eine Auswirkung auf \(Y\) haben, oder umgekehrt \(Y\) eine Auswirkung auf \(X\), oder aber wie im Beispiel oben eine Mediatorvariable im Spiel sein, die beide Variablen, \(X\) sowie \(Y\) beeinflusst.

Nachweisen kann man eine Kausalität nur durch ein Experiment. Hier müssten wir zum Beispiel von 100 Personen die Schuhgrösse und das Einkommen notieren, und dann der einen Hälfte größere Schuhe geben und der anderen nicht. Wenn sich nun das Einkommen der Treatment-Gruppe, also der Personen mit größeren Schuhen, gegenüber der Kontrollgruppe erhöht, dann haben wir einen Zusammenhang nachgewiesen (das wird aber in diesem Fall eher nicht erwartet).

Kreuztabellen sind Häufigkeitstabellen für zwei Merkmale. Sie sind also dazu da, die gemeinsame Verteilung von zwei Merkmalen zu visualisieren.

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Kreuztabellen für absolute Häufigkeiten

Die einfachste Tabelle besteht aus absoluten Häufigkeiten, also einfach der Anzahl an untersuchten Einheiten in jeder Gruppe. Befragt man zum Beispiel 200 Personen nach ihrem Geschlecht und der letzten gewählten Partei, könnte sich eine Tabelle wie folgt ergeben:

Allgemein notieren kann man eine Tabelle zum Beispiel so:

Das Merkmal \(X\) ist in den Zeilen dargestellt und kann \(I\) verschiedene Ausprägungen haben, \(a_1\) bis \(a_I\). Im oberen Beispiel war \(X\) das Geschlecht, \(I=2\) und \(a_1\) war „männlich“, \(a_2\) war „weiblich“. Das zweite Merkmal, \(Y\) läuft über die Spalten und hat \(J\) verschiedene Ausprägungen \(b_1, \ldots, b_J\) (oben waren das die fünf Parteien).

Die einzelnen Häufigkeiten werden nun durch \(h_{ij}\) dargestellt, wobei die erste Zahl, \(i\), immer die Zeile angibt, und die zweite Zahl, \(j\), immer die Spalte. \(h_{13}\) ist also der Eintrag in der ersten Zeile, dritte Spalte. In unserer Parteientabelle ist \(h_{13}=8\).

Die Randhäufigkeiten sind die gebildeten Summen über eine ganze Zeile (z.B. \(h_{2\cdot}\) für die zweite Zeile) oder eine ganze Spalte (z.B. \(h_{\cdot 1}\) für Spalte 1). Der Punkt deutet an, dass an dieser Position summiert wird; steht er an erster Stelle, wird eine feste Spalte über alle Zeilen summiert. Für eine beliebige Zeile \(i\) stellt man die Zeilensumme durch die Formel \(h_{i\cdot} = \sum_{j=1}^J h_{ij}\) dar, und eine Spaltensumme für eine beliebige Spalte \(j\) bildet man mit \(h_{\cdot j} = \sum_{i=1}^I h_{ij}\).

Ganz unten rechts steht noch \(n\), die gesamte Anzahl an untersuchten Einheiten. In unserem Beispiel war \(n=200\).

Als kleine Verständniskontrolle kann man sich überlegen, wofür die folgenden Bezeichnungen in unserer Beispieltabelle der Wahldaten stehen:

• \(I\)
• \(h_{12}\)
• \(h_{\cdot 2}\)
• \(a_2\)
• \(n\)

Kreuztabellen für relative Häufigkeiten

Eine Tabelle für absolute Häufigkeiten wandelt man ganz einfach in eine Tabelle relativer Häufigkeiten um: Man dividiert jede Zelle (egal ob es eine Datenzelle oder eine Randhäufigkeit ist) durch \(n\), und ist fertig. Hier ist unsere Beispieltabelle von oben in relativen Häufigkeiten, indem wir jede Zelle durch 200 teilen:

Relative Häufigkeiten sollte man anders bezeichnen als absolute Häufigkeiten. Daher nennen wir absolute Häufigkeiten \(h_{ij}\), und relative Häufigkeiten \(f_{ij}\). Das kann aber natürlich in jedem Kurs anders heißen.

Exkurs: Bedingte Häufigkeiten

Mit bedingten Häufigkeiten drücken wir die Verteilung eines Merkmals aus, gegeben ein zweites Merkmal hat eine bestimmte Ausprägung. In einer Formel deutet der vertikale Balken an, dass es sich um eine bedingte Häufigkeit handelt. So bedeutet f(Grüne|Mann) die relative Häufigkeit der Grünen-Wähler bedingt auf die Männer.

Wenn man auf die Männer bedingt, interessiert einen in der folgenden Tabelle nur die erste Zeile:

Der Anteil der Grünen-Wähler an den Männern ist also 12 von 84 Männern, d.h. 14%.

Um eine bedingte Häufigkeit zu erhalten, teilen wir also nicht durch die Gesamtzahl an Personen \(n\), sondern nur durch die Personen, auf die bedingt wurde. Im Beispiel oben teilen wir die absolute Anzahl an Männern, die die Grünen gewählt haben (=12) durch die Anzahl an befragten Männern (also durch \(h_{1\cdot} = 84\) statt durch \(n\)).

Mit unseren Bezeichnungen von oben („Grüne“ sind \(b_4\) usw.) berechnen wir diese bedingte Häufigkeit wie folgt:

\[ f(b_4 | a_1) = \frac{h_{14}}{h_{1\cdot}} = 12/84 = 0.14 \]

In Formeln ausgedrückt berechnet man die auf eine Spalte bedingte Häufigkeit durch

\[ f(a_i | b_j) = \frac{h_{ij}}{h_{\cdot j}}, \]

und die auf eine Zeile bedingte Häufigkeit durch

\[ f(b_j | a_i) = \frac{h_{ij}}{h_{i \cdot}}. \]

Die Korrelation ist eine Möglichkeit, den Zusammenhang zwischen zwei Variablen zu beschreiben. Der Pearson-Korrelationskoeffizient \(r\) ist einer von vielen Möglichkeiten dazu, und meiner Meinung nach die einfachste, am ehesten intuitive.

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Mit der Korrelation mißt man den linearen (dazu später mehr) Zusammenhang zwischen zwei Variablen. Der Wert kann zwischen -1 und 1 liegen, und wird wie folgt interpretiert:

• \(r \approx 0\): Wenn zwei Variablen eine Korrelation von ungefähr Null haben, lässt sich kein Zusammenhang erkennen. Die Variablen sind unkorreliert. Eine Korrelation von 0 erwartet man z.B. zwischen der Hausnummer und der Körpergrösse einer Person.
• \(r > 0\): Wenn \(r\) größer als Null ist, spricht man von einer positiven Korrelation. Größere Werte von \(X\) gehen dann einher mit größeren Werten von \(Y\). Das ist zum Beispiel bei der Körpergrösse und der Schuhgrösse einer Person der Fall: Grössere Menschen haben meistens auch grössere Schuhe.
• \(r < 0\): Wenn \(r\) negativ ist, dann hängen höhere Werte von \(X\) mit niedrigeren Werten für \(Y\) (und umgekehrt) zusammen. Betrachtet man etwa die Anzahl der Skiurlauber und die Aussentemperatur, sieht man, dass bei niedrigeren Temperaturen mehr Urlauber kommen.

Sehen wir uns ein paar grafische Beispiele an:

Hier sieht man vier Beispiele für Datensätze mit zwei Variablen. Gezeigt sind die X- und Y-Werte, sowie der jeweilige Korrelationskoeffizient \(r\), und eine Regressionslinie.

A)

Hier sieht man eine starke positive Korrelation. Die hohe Korrelation deutet darauf hin, dass ein Zusammenhang zwischen Außentemperatur und Umsatz einer Eisdiele besteht.

B)

Ein Beispiel für eine negative Korrelation. Höhere Preise für Kinokarten gehen mit weniger Besuchern einher. Hier fällt auch auf, dass die Steigung der Geraden keine Rolle spielt. Der Korrelationskoeffizient bemerkt nur, wie „perfekt“ der lineare Zusammenhang ist, aber nicht, wie stark er ist.

C)

Sieht man sich Daten für Körpergrösse und Nettoeinkommen an, erkennt man keinen Zusammenhang. Hier ist sogar eine leicht negative Korrelation zu erkennen, die man aber wohl als zufällig betrachten kann.

D)

Ein Beispiel für die Grenzen der Korrelation: Sehr arme Menschen können sich keine Busfahrkarten leisten, und sehr reiche Menschen fahren eher Auto. Der Zusammenhang ist hier nicht linear, sondern folgt eher einer Parabel. Man sieht eine Abhängigkeit zwischen dem Einkommen und der gekauften Busfahrkarten, aber die lineare Korrelation erkennt ihn nicht.

Um den Korrelationskoeffizienten \(r\) für zwei Variablen zu berechnen, gibt es zwei Formeln, wo bei beiden natürlich das Gleiche rauskommt. Manchmal ist allerdings die eine oder andere Formel einfacher in den Taschenrechner einzutippen.

Für die Formeln sollte man mit dem Summenzeichen umgehen können, das im entsprechenden Artikel erklärt wird.

Formel 1: \[ r = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) (y_i – \bar{y})}{ \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} } \]

Formel 2: \[ r= \frac{\sum_{i=1}^n x_i y_i – n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 – n\bar{x}^2} \cdot \sqrt{\sum_{i=1}^n y_i^2 – n\bar{y}^2} } \]

Die zweite Formel ist einfacher und schneller im Taschenrechner zu berechnen. Wenn allerdings sehr große Zahlen für \(x\) oder \(y\) vorkommen, werden die Summen der Quadrate (die Terme \(\sum_{i=1}^n x_i^2\)) zu gross, und der Speicher des Taschenrechners spielt nicht mehr mit.

Beispielaufgabe

Schauen wir uns die Berechnung von \(r\) mit beiden Formeln anhand eines Beispiels an:

Überlege dir vorher, ob du eine positive oder negative Korrelation erwartest. Du kannst auch ein Streudiagramm der Daten zeichnen, um im Vorfeld etwas mehr Klarheit zu bekommen.

Für beide Formeln müssen wir zuerst die Mittelwerte \(\bar{x}\) und \(\bar{y}\) berechnen:

\[ \bar{x} = \frac{1}{7} \cdot (4+21+2+11+14+2+6) = 8.57\]

\[ \bar{y} = \frac{1}{7} \cdot (70+63+82+65+61+74+84) = 71.29\]

Formel 1

Am einfachsten ist es, die Formel in drei Schritten zu berechnen, und die Zwischenergebnisse aufzuschreiben, und am Ende den gesamten Bruch auszurechen. Beginnen wir mit dem Zähler:

\[ \begin{align*} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) = & (4-8.57)\cdot (70-71.29)+\\ & (21-8.57)\cdot (63-71.29)+\\ & (2-8.57)\cdot (82-71.29)+\\ & (11-8.57)\cdot (65-71.29)+\\ & (14-8.57)\cdot (61-71.29)+\\ & (2-8.57)\cdot (74-71.29)+\\ & (6-8.57)\cdot (84-71.29) \\ & = -289.14 \end{align*} \]

Nun die beiden Teile im Nenner:

\(\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} = \sqrt{(4-8.57)^2 + (21-8.57)^2 + \ldots +(6-8.57)^2} = 17.43\)

\(\sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i – \bar{y})^2} = \sqrt{(70-71.29)^2 + \ldots +(84-71.29)^2 } = 22.35\)

Zusammen in die Formel von oben eingesetzt ergibt sich die Korrelation:

\[ r= \frac{-289.14}{17.43 \cdot 22.35} = -0.74 \]

Formel 2

Mit diesem Weg hat man mehr Zwischenergebnisse als mit Formel 1, und kann sich im Taschenrechner nicht so leicht vertippen. Man berechnet nacheinander die folgenden fünf Werte:

• \(\bar{x} = 8.57\)
• \(\bar{y} = 71.29\)
• \(\sum_{i=1}^n x_iy_i = 4\cdot 70 + 21\cdot 63 + 2\cdot 82 + 11\cdot 65 + 14\cdot 61 + 2\cdot 74 + 6\cdot 84 = 3988\)
• \(\sum_{i=1}^n x_i^2 = 4^2+21^2+2^2+11^2+14^2+2^2+6^2 =818\)
• \(\sum_{i=1}^n y_i^2 = 36071\)

Diese Werte setzt man nun in die Formel ein:

\[ r = \frac{3988 – 7\cdot 8.57 \cdot 71.29}{\sqrt{818 – 7\cdot 8.57^2} \cdot \sqrt{36071 – 7\cdot 71.29^2}} = -0.74 \]

Wie man sieht, ist die zweite Variante angenehmer zu rechnen, könnte aber problematisch werden, wenn z.B. Zahlen über 10,000 quadriert und summiert werden.

Herleitung über die empirische Kovarianz

Dieser Abschnitt wird ein bisschen mathematisch, kann also gerne übersprungen werden, wenn man nicht an der Intuition hinter der Formel interessiert ist.

Die Korrelation ist eigentlich eine standardisierte Version der Kovarianz zweier Variablen. Die Kovarianz ist definiert als

\[ \text{Cov}(x, y) = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})\]

Der Betrag der Kovarianz bewegt sich zwischen \(0\) (bei unkorrelierten Variablen) und \(s_x \cdot s_y\) (bei perfekt korrelierten Variablen). Dabei ist \(s_x\) die Standardabweichung von \(X\), und \(s_y\) die von \(Y\). Das Vorzeichen der Kovarianz lässt nun schon erkennen, in welche Richtung der Zusammenhang zweier Variablen geht, genauso wie bei der Korrelation. Aber ihr Wert ist abhängig von der Varianz von \(x\) und \(y\). Daher wird die Kovarianz standardisiert, indem man durch die Standardabweichungen von \(x\) und \(y\) teilt – dadurch erhält man die Korrelation, deren Wertebereich nun von -1 bis 1 geht:

\[ r = \frac{\text{Cov}(x, y)}{s_x \cdot s_y} \]

Die Faktoren \(\frac{1}{n-1}\) stehen im Zähler und im Nenner, und kürzen sich heraus, wodurch die Formel 1 oben entsteht.