Fakultät und Binomialkoeffizient

Diese beiden Konstrukte werden in der Kombinatorik häufiger gebraucht. Es handelt sich im Prinzip nur um abkürzende Schreibweisen.

Die Fakultät wird durch ein nachgestelltes Ausrufezeichen dargestellt und ist eine bestimmte Art von Produkt:

 N! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot N

So ist die Fakultät von 5 also 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 120. Die Fakultät von 0 ist ein Spezialfall und definiert als 0! = 1.

Ein nützlicher Fakt, mit dem man super ein erstes Date platzen lassen kann, ist dieser: Es gibt genau  10! Sekunden innerhalb eines Zeitraums von 6 Wochen. Die Herleitung geht so: Die Anzahl der Sekunden in 6 Wochen ist 6 (Wochen) \cdot 7 (Tage) \cdot 24 (Stunden) \cdot 60 (Minuten) \cdot 60 (Sekunden). Durch Aufteilen mancher Zahlen in kleinere Faktoren erhält man dann:

 6 \cdot 7 \cdot 24 \cdot 60 \cdot 60 =6\cdot 7 \cdot (8 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 10) \cdot ( 1 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = 10!

Man kann auch Produkte in dieser Kurzschreibweise ausdrücken, die nicht bei 1 beginnen. Das Produkt 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 kann man als \frac{8!}{4!} schreiben, weil sich die Faktoren 4, 3, 2, 1 im Nenner wieder wegkürzen:

 \frac{8!}{4!} = \frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5

In einem späteren Beispiel zur Lottoziehung möchten wir wissen, was 49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44 ist: \frac{49!}{43!}

Der Binomialkoeffizient ist eine verkürzende Schreibweise für eine häufig benutzte Formel in der Kombinatorik:

 {N \choose k} = \frac{N!}{k!\cdot (N-k)!}

Man spricht dieses Konstrukt als "N über k" oder "k aus N" aus.

4 Gedanken zu „Fakultät und Binomialkoeffizient

  1. Mario

    Hallo Alex,
    Fakultät 5, also 5! ist 120 und nicht 625.
    Ansonsten vielen Dank für Deine wirklich coole Seite!
    Hat mir schon sehr geholfen.

    LG Mario

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    1. AlexAlex Beitragsautor

      Hi Mario,
      danke für den Hinweis, habs korrigiert! Keine Ahnung wie die 625 da hingekommen ist.. 6! ist auch was anderes 🙂
      Gruß,
      Alex

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  2. Lena Schranz

    Hi,
    ich glaube, hier ist ein kleiner Fehler unterlaufen.
    Bei dem Beispiel Lotto möchte man 49*48*47*46*45*44 ausrechnen. Das wird dann angezeigt als
    49! / 44! aber es müsste eigentlich 49! / 43! sein, denn sonst würde die 44 ja auch weggekürzt werden.
    Liebe Grüße,
    Lena

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