Im eBook-Shop gibt es Klausuraufgaben zu diesem Thema!In diesem Artikel wird nun – aufbauend auf das einführende Beispiel – beschrieben, wie man die Regressionsgerade für unsere Beispieldaten berechnet und einzeichnet. Zur Wiederholung:
Wir möchten die Ringgröße (\(y\)) unserer Freundin schätzen, um sie mit einem Ring zu überraschen. Wir wissen aber nur ihre Körpergröße (\(x\)). Um nun die Ringgröße zu schätzen, sammeln wir 10 Datenpunkte von Freunden und Bekannten, und notieren ihre Körpergröße und Ringgröße:
| Person \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Körpergröße \(x\) | 156.3 | 158.9 | 160.8 | 179.6 | 156.6 | 165.1 | 165.9 | 156.7 | 167.8 | 160.8 |
| Ringgröße \(y\) | 47.1 | 46.8 | 49.3 | 53.2 | 47.7 | 49.0 | 50.6 | 47.1 | 51.7 | 47.8 |
Wir nennen hier \(y\) die Zielgröße, da ihre Vorhersage unser Ziel ist. Die Körpergröße \(x\) wird allgemein auch Einflussgröße genannt. Es gibt aber noch unzählige andere Namen für die beiden Typen von Variablen. In anderen Quellen wird \(y\) auch häufig Zielvariable, Regressand, Outcome, erklärte Variable oder abhängige Variable (weil sie von \(x\) abhängig ist) genannt. Andere Namen für \(x\) sind Kovariable, Input, Regressor, erklärende Variable oder unabhängige Variable.
Diese Daten können wir nun in ein Streudiagramm einzeichnen, und erkennen sofort, dass größere Frauen tendenziell auch größere Ringe brauchen:
Die Regression ist nun eine statistische Methode, um die bestmögliche Gerade zu finden, die man durch diese Daten legen kann. Eine Gerade wird ja definiert durch zwei Parameter \(a\) und \(b\); man kann sie dann darstellen als
\[ y = a + b \cdot x \]
Manchmal sieht man übrigens statt \(a + b \cdot x\) auch \(\alpha + \beta \cdot x\) oder \(\beta_0 + \beta_1 \cdot x\), aber das sind nur andere Namen für dieselben Zahlen.
Berechnung der Parameter \(a\) und \(b\)
Wenn wir also die bestmögliche Gerade finden wollen, die wir durch diese Punktwolke an Daten legen können, ist das gleichbedeutend damit, dass wir die bestmöglichen Werte für \(a\) und \(b\) finden wollen. Und dafür wurden die folgenden beiden Formeln entdeckt:
\[ b = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) \cdot (y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} \]
Die Formel für \(a\) ist einfacher, aber wir müssen vorher das Ergebnis für \(b\) berechnen und dort einsetzen:
\[ a = \bar{y} – b\cdot \bar{x} \]
Die Werte \(\bar{x}\) und \(\bar{y}\) sind jeweils die Mittelwerte der gemessenen Daten \(x\) und \(y\).
Eine kürzere Formel für die Berechnung von \(b\)
Die Formel für \(b\) ist recht chaotisch, aber es gibt eine Möglichkeit, sie kürzer darzustellen, während sie immernoch dasselbe Ergebnis liefert:
\[ b = r_{xy} \cdot \frac{s_y}{s_x} \]
Dabei ist \(r_{xy}\) die Pearson-Korrelation zwischen \(x\) und \(y\), und \(s_x\) und \(s_y\) jeweils die Standardabweichung von \(x\) bzw. \(y\). Diese Werte muss man natürlich auch erstmal ausrechnen, so dass diese kürzere Formel insgesamt wahrscheinlich mehr Rechenaufwand bedeutet – außer man hat diese Zwischenergebnisse schon z.B. in einer vorherigen Teilaufgabe der Klausur erhalten und kann sie einfach einsetzen.
Beispielaufgabe
Wir berechnen hier die Werte \(a\) und \(b\) für die obenstehende Tabelle von 10 Personen. Dazu brauchen wir die Mittelwerte von \(x\) und \(y\) als Zwischenergebnisse:
\[ \begin{align*} \bar{x} &= \frac{1}{10} \cdot (156.3+158.9+160.8+179.6+156.6+165.1+165.9+156.7+167.8+160.8) \\ &= \frac{1}{10} \cdot 1628.5 \\ &= 162.85 \end{align*} \]
Genauso erhält man dann auch
\[ \bar{y} = 49.03 \]
Zum Berechnen von \(b\) könnte man nun sofort loslegen, alles in den Taschenrechner einzutippen. Das ist aber anfällig für Leichtsinnsfehler, und oft reicht auch der Platz im Taschenrechner nicht für diese große Formel aus. Ich schlage also vor, in mehreren Schritten vorzugehen:
Bestimmen der Werte \((x_i-\bar{x})\) und \((y_i-\bar{y})\)
Zuerst brauchen wir Zwischenergebnisse, wo wir von jedem Wert den zugehörigen Mittelwert abziehen. Aus der Tabelle
| Person \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Körpergröße \(x\) | 156.3 | 158.9 | 160.8 | 179.6 | 156.6 | 165.1 | 165.9 | 156.7 | 167.8 | 160.8 |
| Ringgröße \(y\) | 47.1 | 46.8 | 49.3 | 53.2 | 47.7 | 49.0 | 50.6 | 47.1 | 51.7 | 47.8 |
werden also die folgenden Werte berechnet:
| Person \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((x_i-\bar{x})\) | -6.55 | -3.95 | -2.05 | 16.75 | -6.25 | 2.25 | 3.05 | -6.15 | 4.95 | -2.05 |
| \((y_i-\bar{y})\) | -1.93 | -2.23 | 0.27 | 4.17 | -1.33 | -0.03 | 1.57 | -1.93 | 2.67 | -1.23 |
Als Beispiel: Der erste Wert für \((x_i-\bar{x})\) ist einfach \(156.3 – 162.85 = – 6.55\).
Berechnen von \(b\)
Jetzt sind wir nicht weit vom Ergebnis entfernt. Wir brauchen im Zähler der Formel für \(b\) nun für jede Person \(i\) das Produkt der beiden Werte \((x_i-\bar{x})\) und \((y_i-\bar{y})\), für die erste Person also z.B. \((-6.55 \cdot -1.93) = 12.6415\).
Im Nenner der Formel für \(b\) brauchen wir das Quadrat der zweiten Zeile, also wir müssen \((x_i-\bar{x})^2\) berechnen.
Diese Werte berechnen wir nun für alle 10 Personen und können sie (ich runde auf zwei Nachkommastellen) in zwei neue Zeilen der Tabelle einfügen:
| Person \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \((x_i-\bar{x})\) | -6.55 | -3.95 | -2.05 | 16.75 | -6.25 | 2.25 | 3.05 | -6.15 | 4.95 | -2.05 |
| \((y_i-\bar{y})\) | -1.93 | -2.23 | 0.27 | 4.17 | -1.33 | -0.03 | 1.57 | -1.93 | 2.67 | -1.23 |
| \((x_i-\bar{x}) \cdot (y_i-\bar{y})\) | 12.64 | 8.81 | -0.55 | 69.85 | 8.31 | -0.07 | 4.79 | 11.87 | 13.22 | 2.52 |
| \((x_i-\bar{x})^2\) | 42.90 | 15.60 | 4.20 | 280.56 | 39.06 | 5.06 | 9.30 | 37.82 | 24.50 | 4.20 |
Und wenn man sich jetzt nochmal die Formel für \(b\) anschaut, sieht man dass wir soweit sind: der Zähler ist die Summe der Werte in der dritten Zeile, und der Nenner die Summe der Werte in der vierten Zeile. Die ergeben sich zu
\[ \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x}) \cdot (y_i-\bar{y}) = 131.39 \]
und
\[ \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 = 463.2 \]
Somit können wir also \(b\) berechnen:
\[ b =\frac{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x}) \cdot (y_i – \bar{y})}{\sum_{i=1}^n (x_i – \bar{x})^2} = \frac{131.39}{463.2} = 0.2836 \]
Berechnen von \(a\)
Der Wert \(a\) ist nun mit diesem Ergebnis ganz einfach zu erhalten:
\[ a = \bar{y} – b\cdot \bar{x} = 49.03 – 0.2836 \cdot 162.85 = 2.8457 \]
Einzeichnen der Regressionsgerade
Wir haben also nun die letztendliche Regressionsgerade berechnen können:
\[ y = 2.8457 + 0.2836 \cdot x \]
Um die Gerade dann einzuzeichnen, reicht es, zwei Punkte zu bestimmen, indem wir irgendwelche \(x\)-Werte aussuchen, und die zugehörigen \(y\)-Werte bestimmen. Die \(x\)-Werte sollten sich im Rahmen der „normalen“ Werte der Daten bewegen. Mit Hilfe der Grafik können wir z.B. \(x=160\) und \(x=170\) aussuchen. Dann berechnen wir mit der Formel der Regressionsgeraden die zugehörigen \(y\)-Werte:
\[ 2.8457 + 0.2836 \cdot 160 = 48.22 \]
\[ 2.8457 + 0.2836 \cdot 170 = 51.06 \]
Die Punkte \((160, 48.22)\) und \((170, 51.06)\) können wir nun in das Streudiagramm einzeichnen, und eine Gerade durch die beiden Punkte ziehen:
Vorhersage bei der einfachen linearen Regression
Bisher haben wir gelernt, wie man die beiden Koeffizienten \(a\) und \(b\) berechnet. Jetzt möchten wir mit Hilfe der Parameter auch für neue Daten \(x\) vorhersagen, welchen Wert für \(y\) wir erwarten.
Das Ziel, das wir mit der Regression erreichen wollen, ist nämlich folgendes: Angenommen es kommt eine neue Person, von der wir nur die Körpergröße \(x=170\) wissen. Was ist dann der Erwartungswert der Ringgröße \(y\)? Wir suchen also \(\mathbb{E}(y|x)\), den bedingten Erwartungswert von \(y\), gegeben man kennt \(x\).
Bei der einfachen linearen Regression gibt es ja nur eine Einflussgröße \(x\). Die Regressionsgerade lautet also
\[ y = a + b\cdot x \]
Um eine Vorhersage für die Zielgröße \(y\) zu erhalten, müssen wir also einfach den zugehörigen Wert für \(x\) in die Gleichung einsetzen. Die Werte für \(a\) und \(b\) haben wir vorher schon berechnet.
Als Beispiel: Im Beispiel aus dem vorherigen Artikel haben wir die Werte \(a=2.8457\) und \(b=0.2836\) bestimmt. Welche Ringgröße ist nun bei deiner Freundin zu erwarten, wenn sie eine Körpergröße von \(x=\)170cm hat? Dafür berechnen wir:
\[ y = a + b\cdot x = 2.8457 + 0.2836 \cdot 170 = 51.06 \]
Ein Ring mit der Größe 51 sollte also gut bei ihr passen.
Es ist hier noch wichtig zu erwähnen, dass wir nur den Erwartungswert von \(y\) vorhersagen. Die Ringgröße wird also nicht exakt 51.06 sein, sondern es gibt immer einen kleinen Fehler, den man im linearen Modell \(\epsilon\) (sprich: Epsilon) nennt. In Wirklichkeit lautet die Regressionsgleichung also
\[ y = a + b \cdot x + \epsilon \]
wobei \(\epsilon\) einen zufälligen und unbekannten Fehler bezeichnet.
Dieser Fehler heißt meistens Residuum, aber man trifft ihn auch manchmal unter den Namen Fehlerterm oder Epsilon an.
